/Geometria wykreślna.djvu

			Politechnika Lubelska 


Wiesław Wójcik 
Wacław Nastaj 


Geometria wykreślna 


Część I - wykład 


Lublin 1998 



OPINIODAWCA: 
Doc. dr inż. Stanisław Glinicki 


Wydanie III uaktualnione dla potrzeb 
kierunku Wychowanie Techniczne 
i Zarządzanie i Marketing 


Wydano za zgodą Rektora Politechniki Lubelskiej 


ISBN 83-87270-12-1 


@ Copyright by Politechnika Lubelska 1998 


Wydawnictwa Uczelniane Politechniki Lubelskiej 
Nakład 500 egz. F. B5. Ark. wyd. 8.52. Ark. druk. 12.37. 
lam. 13/98 
Zakład Wydawniczo-Poligraficzny Politechniki Lubelskiej 
ul. Bernardyńska 13. 20-950 Lublin 



SPIS TREŚCI 


Rozdział I: WIADOMOŚCI WSTĘPNE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 
1.1. Elementy przestrzeni właściwe i niewłaściwe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 
1.2. Niektóre zależności między elementami przestrzeni . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 
1.3. Rzutowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 
Rozdział II: ODWZOROWANIE ELEMENTÓW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 
2.1. Rzuty Monge'a (na dwie rzutnie). Układ odniesienia. . . . . . . . . . . . . . . . 14 
2.2. Rzuty punktu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 
2.3. Rzuty prostej. Rzuty dwóch prostych. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 
2.4. Odwzorowanie płaszczyzny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 
2.5. Pominięcie układu odniesienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 
Rozdział III: ELEMENTY PRZYNALEŻNE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 
3.1. Punkt i prosta do siebie przynależne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 
3.2. Prosta i płaszczyzna do siebie przynależne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 
3.3. Punkt i płaszczyzna do siebie przynależne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 
Rozdział IV: ELEMENTY WSPÓLNE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 
4.1. Punkt wspólny dwóch prostych. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 
4.2. Punkt wspólny prostej i płaszczyzny rzutującej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 
4.3. Punkt wspólny prostej i płaszczyzny dowolnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 
4.4. Krawędź dwóch płaszczyzn określonych prostymi i punktami. . . . . . . . . 39 
Rozdział V: ELEMENTY RÓWNOLEGŁE.......................... 44 
5.1. Proste równoległe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 
5.2. Prosta i płaszczyzna do siebie równoległe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 
5.3. Płaszczyzny równoległe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 
Rozdział VI: ELEMENTY PROSTOPADŁE......................... 47 
6.1. Prosta dowolna prostopadła do prostej głównej (poziomej lub czołowej) 47 
6.2. Prosta prostopadła do płaszczyzny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 
6.3. Płaszczyzny do siebie prostopadłe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 
6.4. Proste dowolne do siebie prostopadłe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 
Rozdział VII: ODLEGŁOŚCI.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 
7.1. Kład prostokątny odcinka. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 
7.2. Odległość punktu od płaszczyzny. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 
7.3. Odległość punktu od prostej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 
7.4. Odległość prostych równoległych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 
7.5. Odległość płaszczyzn równoległych. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 



-4- 


Rozdział VIII: OBROTY I KŁADY. KOLINEACJA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 
8.1. Obrót punktu. Obrót odcinka. Obrót trójkąta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 
8.2. Kład punktu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 
8.3. Kład płaszczyzny rzutującej i podniesienie z kładu . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 
8.4. Powinowactwo osiowe układów płaskich. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 
8.5. Kład płaszczyzny dowolnej i podniesienie z kładu. . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 
8.6. Kolineacja ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 
Rozdział IX: TRANSFORMACJE UKŁADU ODNIESIENIA........... 76 
9.1. Transformacja punktu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 
9.2. Transformacja prostej. Zagadnienia miarowe. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 80 
9.3. Transformacja płaszczyzny. Zagadnienia miarowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 
9.4. Rzutnia boczna. Odwzorowanie elementów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 
Rozdział X: WIELOŚCIANY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 
10.1. Rodzaje wielościanów. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 
10.2. Rzuty wielościanów. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 
10.3. Przekroje i rozwinięcia wielościanów. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 
10.4. Punkty przebicia wielościanu prostą . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 
10.5. Przenikanie wielościanów. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 


Rozdział XI: POWIERZCHNIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 
11.1. Krzywe stożkowe. Konstrukcje elipsy, paraboli i hiperboli. Rzuty okręgu 118 
11.2. Powierzchnie obrotowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 
11.3. Przekroje powierzchni kuli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 
11.4. Powierzchnia walcowa. Przekroje i rozwinięcia powierzchni walcowej. . 130 
11.5. Powierzchnia stożkowa. Przekroje i rozwinięcia powierzchni stożkowej. 140 
11.6. Punkty przebicia powierzchni prostą. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 
11.7. Przenikanie powierzchni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 
11.8. Przenikanie powierzchni z wielościanami. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 
Rozdział XII: AKSONOMETRIA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 
12.1. Rzut aksonometryczny. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 
12.2. Aksonometria prostokątna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 
12.3. Aksonometria ukośnokątna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 
12.4. Kąty proporcjonalności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 
12.5. Przekroje ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 
Wykaz ważniejszych oznaczeń. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 
LITERATURA ................................................. 199 



Rozdział I 


WIADOMOŚCI WSTĘPNE 


1.1. Elementy przestrzeni właściwe i niewłaściwe 


1.1.1. Przedmiot geometrii wykreślnej 
Geometria wykreślna jest nauką o sposobach odwzorowywania elementów 
przestrzeni i utworów geometrycznych na płaszczyźnie oraz rozwiązywania 
zadań konstrukcyjnych odnoszących się do tych utworów. W procesie dydakty- 
cznym tego przedmiotu student powinien nabyć również umiejętność od- 
twarzania utworu geometrycznego na podstawie płaskiego obrazu (rysunku). 


1.1.2. Elementy przestrzeni 
Elementami przestrzeni są punkty, proste i płaszczyzny. Punkt, prosta 
i płaszczyzna są to pojęcia w aksjomatyce geometrii elementarnej jako pierwotne, 
nie wymagające defIniowania. Elementy przestrzeni oznaczamy następująco: 
punkty dużymi literami alfabetu łacińskiego, cyframi arabskimi lub cyframi 
rzymskimi, np. A, B, C,ou 1, 2, 3,... I, II, III,... , można też stosować oznaczenia 
z indeksami np. Al' Az, A3' 
proste małymi literami alfabetu łacińskiego, np. a, b,c,... p, g, r,... x, y z,... oraz 
oznaczenia z indeksami np. al' az, a 3 ,... 
plaszczyzny małymi literami alfabetu greckiego np. IX, fJ, "1'00' oraz oznaczenia 
z indeksami np. 1X 1 , IX z , 1X 3 ,... 


Elementy wlaściwe są to te, które 
występują w geometrii elementarnej 
(Euklidesowej), otaczające nas. W ge- 
ometrii elementarnej przyjmujemy 
następujący aksjomat (pewnik) Euk- 
a lidesa: przez dany punkt właściwy 
B nie leżący na danej prostej właś- 
ciwej a przechodzi jedna i tylko jedna 
prosta właściwa b równoległa do pro- 
stej a (ilustracj a graficzna na rys. 1.1.). 
Wobec tego, w geometrii elementar- 
nej równoległymi nazywamy te, które 
Rys. 1.1. Przez dany punkt właściewy B nie leżący 
e mając wspólnego punktu właś- 
na danej prostej właściwej a przechodzi jedna pro- Clwego. 
sta właściwa b 



-6- 


Elementy niewłaściwe są to elementy nieograniczenie (nieskończenie) odległe, 
elementy w nieskończoności. 
Punkt niewłaściwy jest punktem 
wspólnym prostych równoległych. 
Wszystkie proste o tym samym kierun- 
ku (równoległe) mają ten sam punkt 
wspólny niewłaściwy (przecinają się 
w tym samym punkcie niewłaściwym). 
W obec tego punkt niewłaściwy nazywa- 
my również kierunkiem. Każda prosta 
właściwa zawiera nieskończenie wiele 
punktów właściwych i jeden punkt nie- 
właściwy. Prostą właściwą uzupełnioną 
punktem niewłaściwym nazywamy pro- Rys. 1.2 Proste równoległe a i b przecinają 
stą rzutową. się w punkcie niewłaściwym C"" 


NaJ 


NaJ 


Rys. 1.3. Prosta właściwa IIlIX przebija płaszczyznę IX w punkcie niewłaściwym N"" 


Prosta niewłaściwa jest prostą wspólną płaszczyzn równoległych. Płaszczyz- 
ny równoległe IX i fJ przecinają się w kra wędzi niewłaściwej krO (rys. 1.4). Wszystkie 
płaszczyzny o tym samym ustawieniu mają tę samą krawędź wspólną niewłaś- 
ciwą (przecinają się w tej samej krawędzi niewłaściwej). Każda płaszczyzna 
zawiera nieskończenie wiele punktów i prostych właściwych oraz jedną (tylko) 
prostą niewłaściwą, na której leżą wszystkie punkty niewłaściwe płaszczyzny. 
Płaszczyznę właściwą uzupełnioną punktem niewłaściwym nazywamy płasz- 
czyzną rzutową. 
Płaszczyzna niewłaściwa jest zbiorem wszystkich punktów niewłaściwych 
i prostych niewłaściwych przestrzeni. Przestrzeń euklidesową E uzupełnioną 
płaszczyzną niewłaściwą nazywamy przestrzenią rzutową R,R = Eua OO . Zatem 



-7- 


przestrzeń rzutowa jest zbiorem wszystkich punktów właściwych i punktów 
. niewłaściwych, wszystkich prostych właściwych i prostych niewłaściwych oraz 
wszystkich płaszczyzn właściwych i jednej (tylko) płaszczyzny niewłaściwej. 


kro 


/ 


Rys. 1.4. Płaszczyzny równoległe IX i fJ przecinają się w krawędzi niewłaściwej koc 


1.1.3. Utwory geometryczne 
Utworem geometrycznym nazywamy zbiór elementów, tj. punktów, prostych 
i płaszczyzn. Utworami geometrycznymi są więc np. Wielokąty, wielościany, linie 
krzywe i powierzchnie. 


1.2. Niektóre zależności między elementami przestrzeni 


Rys. 1.5, Dwa punkty określają (wyznaczają)jedną 
i tylko jedną prostą I=AB 


4- 


Rys. 1.6. Dwie płaszczyzny IX i fJ określają (wy- 
znaczają) jedną i tylko jedną prostą k=lXr\fJ 


O' 


/} 



-8- 


(ł 


ex 


, 


Rys. 1.7. Trzy punkty niewspółlinio- 
we określają jedną i tylko jedną 
płaszczyznę 


Rys. 1.8. Trzy dowolne płaszczyzny 
niewspóUiniowe i niewspółpłasz- 
czyznowe IX, p, ')' określają jeden 
i tylko jeden punkt P=a.r.pr.')' 


, Rys. 1.9. Prosta a i punkt A nie- 
przynależne do siebie określają jed- 
ną i tylko jedną płaszczyznę (a. = aA) 



-9- 


Rys. 1.10. Prosta a płaszczy- 
zna IX nieprzynależne do sie- 
bie określają punkt P = ar.1X 


Rys. 1.11. Dwie proste a i b przy- 
należne do punktu P określają 
jedną i tylko jedną płaszczyznę 
IX = ab. Dwie proste a i b przyna- 
leżne do płaszczyzny IX określają 
tylko jeden punkt P = ar. b 



 


Rys. 1.12. Dwa punkty 
1 i 2 przynależne do płasz- 
czyzny cx(1,2ecx) określają 
prostą a przynależną do pła- 
szczyzny cx(ac IX) 



-10- 


a 


k P 


fi 


Rys. 1.13. Dwie płaszczyzny IX i P przynależne do punktu P (PE(XAP) 
określają prostą k przynależną do punktu P (Pek) 


Oznaczenie przynależności elementów: 
punkt i prosta do siebie przynależne - AEa, 
prosta i płaszczyzna do sibie przynależne - a c IX 
punkt i płaszczyzna do siebie przynależne - AEIX, 
Oznaczenie równoległości i nierównoległości elementów: 
proste równolełg a i b - all b, 
proste nierównoległe a i b - a
b, 
prosta a i płaszczyzna IX równoległe - all IX, 
prosta a i płaszczyzna IX nierównoległe - a
lX, 
płaszczyzny IX i P równoległe - IXllfJ 
płaszczyzny IX i pnierównoległe - lX
fJ, 
Oznaczenia prostopadłości i nieprostopadłości elementów: 
proste prostopadłe a i b - a 1 b, 
proste nieprostopadłe a i b - a 1 b, 
prosta a i płaszczyzna IX prostopadłe - a l IX, 
prosta a i płaszczyzna IX nieprostopadłe - a 1 IX , 
płaszczyzny prostopadłe IX i fJ - IX 1 fJ, 
płaszczyzny nieprostopadłe IX i fJ - IX 1 fJ . 


1.3. Rzutowanie 


1.3.1. Rzut środkowy 
Przyjmujemy dowolną płaszczyznę 71:, przeważnie poziomą albo pionową, 
zwaną rzutnią lub tłem, na którą odwzorowuje się elementy przestrzeni i utwory 
geometryczne. Przyjmujemy punkt właściwy O nie leżący na rzutni, zwany 
środkiem rzutowania. Każda prosta przechodząca przez środek rzutowania 



-11- 


jest tzw. prostą rzutującą lub promieniem rzutującym. W celu odwzorowania 
danego punktu na rzutnię 71: (rys. 1.14) prowadzimi przez punkty O i A prostą 
rzutującą a i wyznaczamy punkt przebicia A I rzutni 71: prostą a. Punkt A I nazywa 
się rzutem środkowym lub perspektywą punktu A. Podobnie wyznaczamy B I . 
Jeżeli punkt C leży na rzutni, to jego rzut środkowy CI jednoczy się z punktem C. 
Dla poszczególnych punktów P, Q, R leżących na prostej rzutującej p, ich rzuty 
środkowe jednoczą się w punkcie pl ==  a1lpl i na odwrót: a1lpl, plln => li lp 


a) 


b) 


x 


C' 


 


Rys. 6.2. Proste prostopadłe do prostych głównych 



-48- 


6.2. Prosta prostopadła do płaszczyzny: a 11X 


Prosta a jest prostopadła do płaszczyzny IX wówczas, gdy jest prostopadła do 
dwóch przecinających się prostych leżących na tej płaszczyźnie (rys. 6.3). 


a 


Rys. 6.3. Prosta a prostopadła do płaszczyzny IX 


8" 


C. 


C' 


Rys. 6.4. Prosta a prostopadła do płaszczyzny IX=ABC 
(al l pl , all l Cll) 
Do ustalenia zależności prostopadłości prostej a do płaszczyzny IX, określamy 
na płaszczyźnie IX prostą poziomą p i czołową c (rys. 6.4). Wówczas na podstawie 
poprzedniego punktu, jeśli a llX mamy: aIlpI i a Il 1 c Il . 



- 49- 


6.3. Płaszczymy do siebie prostopadłe: fJ 11X 


Mamy dwa określenia prostopadłości dwóch płaszczyzn. 


1. Płaszczyzna fJ jest prostopadła do płaszczyzny IX wówczas, gdy przechodzi 
przez prostą a prostopadłą do płaszczyzny IX. Przez tę prostą a możemy 
poprowadzić pęk płaszczyzn (rys. 6.5). 


I 
I 
J 
I 
I 
X,---- 
/ .............. 
/ ............. 
/ 


o 


CI 


Rys. 6.5. Prosta a prostopadła do IX wyznacza pęk płaszczyzn 
zawierających prostą a i prostopadłych do IX 


Przykład: 
Dana jest płaszczyzna IX i dowolna prosta a. 
Przez prostą a poprowadzić płaszczyznę fJ prostopadłą do płaszczyzny IX. 
Rozwiązanie na rys. 6.6. 
W obu przykładach na rys. 6.6 płaszczyznę fJ prostopadłą do danej 
płaszczyzny IX określają proste a i b przecinające się w punkcie P (dowolnie 
obranym na prostej a). 


2. Płaszczyzna fJ jest prostopadła do płaszczyzny IX wówczas, gdy jest prostopadła 
do prostej a, leżącej na płaszczyźnie IX (rys. 6.7). Prostopadle do tej prostej 
możemy poprowadzić pęk płaszczyzn równoległych. 
Na rysunku 6.7 przykładowo podano sposób wyznaczania płaszczyzny 
prostopadłej do danej płaszczyzny, oparty na tej definicji. W tym celu w płasz- 
czyźnie IX=ABC określono dowolną prostą a i prostopadle do niej - uwzględ- 
niając prostopadłość odpowiednich rzutów - poprowadzono płaszczyzny 
fJl =P1 C l oraz fJ2=P2C2 przez wybrane punkty. 



- 50- 


m" 


aj 


b) 


A. 


Rys. 6.6. Płaszczyzna fJ=ab (P=af'lb) prostopadla do plaszczyzny 
określonej: a) a: = mn(m II n); b) a:=ABC, a la: - warunek prosto- 
padłości płaszczyzn a: i fJ 



- 51 - 


Rys. 6.7. Płaszczyzny równoległe Pl' PZ' P3 prostopadłe do płaszczyzny IX; 
PIIIP21IP3' Pll aclX 


Rys. 6.8. Płaszczyzny Pl =PIC I i pz =PzC z prostopadłe do płaszczyzny 
IX=ABC; Pl' P2l a, ac::a 



- 52- 


6.4. Proste dowolne do siebie prostopadłe 


Rys. 6.9. 


Prosta b jest prostopadła do prostej a wówczas, gdy przynależy do 
płaszczyzny (X prostopadłej do prostej a. Prosta b może przecinać prostą a lub 
może być względem prostej a skośna. 
Każda prosta leżąca na płaszczyźnie prostopadłej do prostej a, jest do tej 
prostej a prostopadła. 


Przykład: 
Przez dany punkt P poprowadzić prostą b prostopadłą do danej prostej a i prostą 
a przecmającą. 
Rozwiązanie podano na rys. 6.9. 
Przez punkt P poprowadzimy płaszczyznę lX=p c (IX 1 a); znajdujemy punkt 
R = IXna prowadząc przez prostą a płaszczyznę fJ 171: 2 ; szukaną prostą b 1 a 
wyznaczają punkty P, R. 



Rozdział VII 


ODLEGŁOŚCI 


7.1. Kład prostokątny odcinka 



 = A A:eł 
'8= B Bp 


B' 


B'"(=B:łJ 


Rys. 7.1. Kład trapezowy poziomy odcinka AB na płaszczyznę poziomą J1. 



- 54- 


Długość odcinka wyznaczamy metodą kładu prostokątnego. Dokonamy 
kładu poziomego. W tym celu przez odcinek AB prowadzimy płaszczyznę 
poziomo-rzutującą l; i następnie dokonujemy obrotu (kładu tej płaszczyzny) wraz 
z odcinkiem dookoła k krawędzi płaszczyzny poziomo-rzutującej z płaszczyzną 
poziomą f.l, na którą wykonujemy kład tak, że płaszczyzna l; znajdzie się na 
płaszczyźnie f.l (rys. 7.1). Nowe położenie odcinka nazywamy kładem prostokąt- 
nym odcinka. Długość kładu A *B* na rzutni jest jego rzeczywistą, naturalną 
długością. W szczególnym przypadku kładu możemy dokonać na rzutnię 
poziomą 71: 1 dookoła śladu poziomego he . 
Można też wykonywać kłady pionowe na płaszczyznę czołową v (lub rzutnię 
pionową 71: 2 ) postępując analogicznie jak poprzednio. Tak wykonane kłady (rys. 
7.1) nazywamy też kładami tra pezowymi. Prowadząc płaszczyznę f.llubv przez 
jeden z końców odcinka AB otrzymamy kład trójkątny - nazywany też 
różnicowym - wymagający mniej czynności i przez to częściej stosowany. 
Przykłady różnych kładów są na rys. 7.2. 


a) 


B' 


p' 


A'-A- 


cJ 


Rys. 7.2 Kład różnicowy odcinka na: a) płaszczyz- 
nę poziomą p.; b) płaszczyznę czołową v, c) kład 
odcinka prostopadłego do osi x na płaszczyznłę 
poziomą 


A" 


b) 


B'łB łł 


11' 


A' 
A' 


dW 


B' 
A 


4)W 


li.£!" 


If 


Uwaga: gdy odcinek jest poziomy lub czołowy to w odpowiednim rzucie 
mamy jego rzeczywistą wielkość, oraz możemy określić kąt prostej do odpowied- 
niej rzutni, rys. 7.3. 



aj 


- 55 - 
b) 


A n 


A. 


8" 


A' 


Et 


A' 


-S' 


Rys. 7.3.a) Rzuty odcinka pozio mego; A1 B1= AB, a:= --=!:(AB, 1t 2 ) 
b) Rzuty odcinka czołowego; AIlBIl =AB, fJ= i:(AB, 1t I ) 


Rys. 7.4. Podnoszenie z kładu odcinka 
określonej długości 



w 


Zadanie: 
Wyznaczyć na prostej a odcinek AB długości 3 cm. Przyjmujemy dowolny 
punkt A 
az drugi dowolny punkt C leżące na pr ostej a ; znajdujemy kład 
odcinka AC (rys. 7.4). Następnie odmierzamy odcinek A *B* = 3 cm i wracamy 
do rzutów (podnosimy z kładu) wyznaczając kolejno B I i BIl. 



- 56- 


aj A" 8" alf b) A' 
ci 30 mm 
8" 


Rys. 7.5. 


l a'a A's 8' 


Gdy prosta a jest w położeniu szczególnym, to zadania rozwiązujemy jak na 
rys. 7.5. 


7.2. Odległość punktu od płaszczyzny, p(A,IX) 


W celu wyznaczenia odległości punktu A od płaszczyzny (oznaczenie P(A,IX) 
- rys. 7.6.) postępujemy następująco: 


a 


A 


9 (A, a) 


Rys. 7.6. Odległość punktu 
od płaszczyzny 



- 57 - 


.4 


N. 


M' 


Rys. 7.7. p(A,a:) - odległość punktu A od płaszczyzny a: określonej 
równoległobokiem KLMN 


p' 


Rys. 7.8. P(A,IX) - odległość 
punktu A od płaszczyzny 
a:=mn, mlln 



- 58- 


1) A E a llX (przez punkt A prowadzimy prostą a 1 IX), 
2) 
 = a n IX (znajdujemy punkt B przebicia płaszczyzny IX prostą a), 
3) AB (odcinek AB jest odległością
unktu A od płaszczyzny IX), 
4) A *B* (wykonujemy kład odcinka AB). 
Zadanie: 
Wyznaczyć rzeczywistą odległość danego punktu A od danej płaszczyzny IX. 
Przykładowe rozwiązania dla dowolnej płaszczyzny pokazuje rys. 7.7, 7.8. 


7.3. Odległość punktu od prostej p(A,a) 


W celu wyznaczenia odległości punktu A od prostej a postępujemy na- 
stępująco (rys. 7.9): 
1) IX = pc, AEIX, a 11X (przez punkt A prowadzimy płaszczyznę IX prostopadłą do 
prostej a), 
2) Aa = IXna (znajdujemy punkt przecięcia prostej a płaszczyzną IX), 
- - 
3) p(A,a) = AAII (odcinek AAII jest odległością punktu od prostej) 


4) A*A*II (Wykonujemy kład odcinka AAII ). 


a 


Rys. 7.9. Odległość punktu A od prostej a; 
p(A,a) 


Zadanie: 
Wyznaczyć odległość danego punktu A od danej prostej a. Przykładowe 
rozwiązanie pokazano na rys. 7.10. 



- 59- 


Rys. 7.10. 


7.4. Odległość prostych równoległych; p(a,b), allb 


Odległość prostych równoległych p(a,b) wyznacza się podobnie jak odległość 
punktu od prostej, a mianowicie: 
1) AEa (obieramy dowolny punkt A na prostej a), 
2) AEIX, IX 1 a, lX=pC (przez punkt A prowadzimy płaszczyznę lX=pc prostopa- 
dłą do prostej a), 
3) B = IXna (zn ajdujemy punkt B -.£.rzecięcia prostej płaszczyzną IX), 
4) p(a,b)=AB (długość odcinka AB określa odległość między prostymi równo- 
ległymi a,b), 
5) A *B* (kład odcinka AB jest naturalną wielkością szukanej odległości p(a,b). 
Przykładowe rozwiązanie pokazano na rys. 7.11. 



-60- 


r! 


Rys. 7.11. Wyznaczanie p(a,b), allb 


7.5. Odległość płaszczyzn równoległych: p(lX,fJ), IXllfJ 


Odległość płaszczyzn równoległych wyznacza się podobnie jak odległość 
punktu od płaszczyzny, a mianowicie: 
1) AEIX (obieramy dowolny punkt A na płaszczyźnie IX), 
2) AEa llX (przez punkt A prowadzimy prostą a prostopadłą do obu płaszczyzn), 
3) B = anfJ (znajdujemy punkt B przebicia płaszczyzny fJ prostą a), 
- - 
4) p(IX,fJ)=AB (AB - odległość płaszczyzn równoległych), 
- - 
5) A*B* (kład odcinka AB). 
Przykładowe rozwiązanie pokazano na rys. 7.12. 


Zadanie: 
Na trójkącie ABC zbudować graniastosłup prosty o wysokości 3 cm. 
Przykładowe rozwiązanie podano na rys. 7.13. 



Rys. 7.12. 


Rys. 7.13. 


- 61 - 


B/I 


M/I 



 


. 


A 



Rozdział VIII 


OBROTY I KŁADY. KOLINEACJA 


8.1. Obrót punktu. Obrót odcinka. Obrót trójkąta 


Obrotem punktu A dookoła osi l nazywamy taką zmianę położenia punktu 
w przestrzeni, przy której przemieszcza się on po okręgu k, o skierowany kąt 
obrotu CO, zajmując końcowe położenie Al' 


I 


Rys. 8.1. Obrót punktu A dookoła prostej l 


Elementy obrotu punktu A (rys. 8.1): 
1) l - oś obrotu, 
2) B - płaszczyzna obrotu, 
3) S - środek obrotu, S=e nl, 
4) r - promień obrotu, r=AS, 
5) k - okrąg obrotu, 
6) co - skierowany kąt obrotu. 


Przez obrót figury geometrycznej rozumiemy odwzorowanie każdego punk- 
tu tej figury poprzez obrót wokół ustalonej osi i o ustalony kąt. 
W zagadnieniach dotyczących obrotu punktu, odcinka i trójkąta osią obrotu 
l wybieramy prostą pionową lub celową. 



- 63- 


Zadania: 
1) Obrócić punkt A wokół osi pionowej. O ile nie ustalimy kierunku obrotu 
zadanie ma dwa rozwiązania (rys. 8.2). 


III 


A' 


A' 


A" 


E" 


A' 


Rys. 8.2. 


2) Wyznaczyć rzeczywistą długość odcinka AB metodą obrotu (rozwiązanie na 
rys. 8.3). 


Ił 


p' 


A' 


E' 


A
 


Rys. 8.3. Wyznaczanie naturalnej długości odcinka: AlBl = AB 



-64- 


3) Wyznaczyć rzeczywistą wielkość trójkąta ABC metodą obrotów. Zadanie 
rozwiązujemy wykonując kolejno dwa obroty (rys. 8.4). 
Najpierw obracając wokół osi pionowej 1 1 prostą poziomą p do położenia 
celowego, sprowadzamy płaszczyznę trójkąta ABC w położenie piono- 
wo-rzutujące (.1.A l B l C l ), a następnie wykonując obrót trójkąta M l B l C l 
dokoła osi celowej 1 2 , sprowadzamy MBC do położenia poziomego (.1.A 2 B 2 C 2 ). 
Trójkąt .1.AIBI CI jest naturalną wielkością MBC. 
2 2 2 


P'. 


8" l;' 


A" 
z 



 


A' 


A ł 


A' 
2 


Rys. 8.4. 


Uwaga 1: Punkty leżące na osi obrotu w wyniku odwzorowania poprzez 
obrót przechodzą same w siebie. Wobec tego przy odwzorowywaniu figury 
geometrycznej l-wymiarowej (odcinek, prosta) przecinającej oś obrotu, wystar- 
czy odwzorować tylko jeden punkt do jednoznacznego określenia obrazu tej 
figury (rys. 8.3), jako że za drugi punkt możemy wziąść punkt przecięcia z osią 
obrotu. Podobnie przy obrocie figury płaskiej (2-wymiarowej) przecinającej oś 
obrotu wystarczy - do wyznaczenia jej nowego położenia - odwzorowanie jej 
2 punktów. 
Uwaga 2: W celu sprowadzenia figury płaskiej poprzez obrót do położenia 
rzutującego należy odpowiednią prostą główną obrócić do położenia rzutujące- 
go (rys. 8.4.). 



- 65 - 


8.2. Kład punktu 


Kładem punktu nazywamy obrót punktu dookoła prostej leżącej na rzutni 
lub na płaszczyźnie równoległej do rzutni tak, że punkt znajdzie się na rzutni lub 
na płaszczyźnie równoległej do rzutni zawierających oś obrotu. 


A' 


If 


}J
 ł- 


Rys. 8.5. Kład dowolny punktu na płaszczyznę poziomą jJ. 


Na rys. 8.5 pokazano kład dowolny punktu A dokoła prostej poziomej l (l == p) 
na płaszczyznę poziomą Jl. 
W szczególnym przypadku, kied y odpowiednia odnosząca z punktu A przeci- 
na oś i płaszczyznę kładu pod kątem prostym, mamy do czynienia z kładem 
prostokątnym punktu A (rys. 8.6). Kłady prostokątne odcinka omówiono 
w poprzednim rozdziale. 



- 66- 


8.3. Kład płaszczyzny nutującej i podniesienie z kładu 


Kładem płaszczyzny nazywamy obrót płaszczyzny IX dokoła jej krawędzi 
z płaszczyzną p (na którą dokonujemy kład) równoległą do wybranej rzutni, 
dokonany tak, że płaszczyzna IX znajdzie się na płaszczyźnie p. 
W szczególnym przypadku możemy wykonywać kład na rzutnię, obracając 
dokoła śladu z tą rzutnią. 
Kłady płaszczyzny rzutującej mogą być poziome lub pionowe oraz prosto- 
kątne i dowolne. 


c.'=l 


p'=1' 


Rys. 8.6. Kład prostokątny płaszczyzny poziomo- 
-rzutującej oc=mn (mrm=P) na płaszczyznę Jl 


Dokonajmy kładu płaszczyzny poziomo-rzutującej: 
1) na płaszczyznę poziomą p (kład poziomy prostokątny - rys. 8.6) i 
2) na płaszczyznę czołową v (układ pionowy dowolny - rys. 8.7). 
Dla określenia kładu płaszczyzny IX na płaszczyzną czołową v określono najpierw 
Po kład punktu P przecięcia prostych m, n wykorzystując p* - pomocniczy kład 
prostokątny punktu P - zgodnie z konstrukcją na rys. 8.5; za drugi punkt 
określający kład płaszczyzny IX = mn wzięto punkt przecięcia prostej n z osią 
obrotu, który w wyniku odwzorowania przechodzi sam w siebie; trzeci punkt 
w celu uniknięcia powtórzenia konstrukcji kładu punktu odwzorowano, wyko- 
rzystując własności zachowania przez obrazy w obrocie równoległości prostych 
równoległych do osi obrotu (rys. 8.7b). Ten sam kład określono też w inny 
sposób, wykorzystując konstrukcję obrotu dokoła prostej pionowej (rys. 8.7a) 
Konstrukcje kładów są dogodne przy określaniu naturalnej wielkości figur 
płaskich. 


Zadanie: 
Znaleźć rzeczywistą wielkość trójkąta leżącego na płaszczyźnie pozio- 
mo-rzutującej. 



- 67- 


Rozwiązania (różnymi sposobami) przedstawiono na rys. 8.8. Rysunki 8.8a, 
i 8.8b przedstawiają 2 warianty wykonania kładu prostokątnego na płaszczyznę 
poziomą. 
Operacją odwrotną do wcześniej opisanych w tym punkcie jest podniesienie 
płaszczyzny rzutującej z kładu. 


aj 


",";;; ( rP;' 
( po)' 


b) 


Rys. 8.7. Kład pionowy dowolny płaszczyzny a:=mn (ml\n=P) na płaszczyznę czołową v 



-- 68 - 


8* 


b) 


8" 


fi!! /ol 


Rys. 8.8. Kład prostokątny płaszczyzny poziomo-rzutującej a:=ABC 
na płaszczyznę poziomą Jl 



- 69- 


8.4. Powinowactwo osiowe prostokątne układów płaskich 


Aby dokonać kładu płaszczyzny dowolnej wystarczy dokonać kładu jednego 
punktu tej płaszczyzny nie leżącego na osi kładu. Kład dowolnego układu 
elementów leżących na płaszczyźnie znajdujemy stosując zależności, tzw. powi- 
nowactwa osiowego prostokątnego układów płaskich. Weźmy pod uwagę dwa 
układy płaskie IXI i 1X 0 , rys. 8.9, dla których zachodzi powinowactwo osiowe 
prostokątne, wówczas występują następujące zależności geometryczne: 
1) każdemu punktowi A odpowiada tylko jeden punkt A ° i odwrotnie; 
2) każdej prostej al odpowiada tylko jedna prosta aO i odwrotnie; 
3) z przynależności punktu A I i prostej al wynika przynależność punktu A ° 
i prostej a ° i odwrotnie; 
4) dwa odpowiadające sobie punkty Al i A O leżą na prostej prostopadłej do osi 
powinowactwa; 
5) pary odpowiadających sobie prostych al i a O , b I i bO... przecinają się na osi 
powinowactwa (osi obrotu l). Oś obrotu l jest osią powinowactwa. Kierunek 
prostopadły do osi powinowactwa jest kierunkiem powinowactwa prostokąt- 
nego, a proste na których leżą odpowiadające sobie punkty Al i A 0, BI i BO... są 
promieniami powinowactwa. Powinowactwo osiowe jest określone, jeśli 
znana jest oś powinowactwa l i jedna para odpowiadających sobie punktów, 
np. Al i AO. 
Wcześniej korzystaliśmy z własności powinowactwa bez dokładniejszego ich 
omówienia przy konstrukcjach na rys. 8.7. 


rJ 


Rys. 8.9. Powinowactwo osiowe prostokątne 



- 70- 


Bil 


Rys. 8.10. Klad płaszczyzny oc=ABC 


tł-,. 


8.5. Kład płaszczyzny dowolnej i podniesienie z kładu 


W zależności od sposobu określenia płaszczyzny stosujemy różne konstruk- 
cje kładu płaszczyzny, które są uogólnieniem konstrukcji z punktu 8.3. 
1) Przykład kładu płaszczyzny IX=ABC (określonej trójkątem) w celu wy- 
znaczenia rzeczywistej wielkości MBC, przedstawia rys. 8.11. 
pl 


Rys. 8.11. Określenie wielkości kąta płaskiego przy pomocy kładu płaszczyzny kąta 



-71- 


Zadanie: 
Wyznaczyć -t:(a,b) kąt między prostymi a,b przecinającymi się w punkcie 
p (rozwiązanie na rys. 8.11). 
2) Płaszczyzna określona prostą czołową i poziomą. 
Jest to szczególny przypadek z poprzedniego punktu określenia płaszczyzny 
prostymi przecinającymi się. Możemy tutaj zastosować klasyczną konstrukcję 
kładu (rys. 8.12 - do odwzorowania wystarczy dokonanie kładu jednego 
punktu) albo uproszczoną, wynikającą z tego, że odcinki prostych czołowych 
i poziomych oraz ich obrazy są sobie równe, jako że są w naturalnej wielkości 
(rys. 8.13). 


p!/J":1" 


ci 


I'=Ji'=ł- 


c' 


pll 


[:ipO 


Rys.8.12. Kład płaszczyzny 
kąta cx=pc 


Rys. 8.13. Kład płaszczyzny cx=pc 



- 72- 


Zadanie: 
Określić naturalną wielkość 
ABC c IX = pc. Dany jest rzut poziomy trójkąta. 
Zadanie rozwiązujemy w następującej kolejności: 
- wyznaczamy rzut pionowy trójkąta zawartego w płaszczyzźnie 1X=pc, 
- wykonujemy kład płaszczyzny biorąc za oś obrotu jedną z prostych głównych 
(na rys. 8.14 wzięto prostą poziomą p), 
- korzystając z powinowactwa osiowego prostokątnego wyznaczymy kład 
MBC. 


i' 


Rys. 8.14. Kład 
Cccx=pc 


Można to zadanie rozwiązać w inny sposób. Mianowicie, zamiast wykony- 
wać kład płaszczyzny IX = pc, po znalezieniu brakującego rzutu 
ABC, można 
wykonać kład jednego z wierzchołków trójkąta ABC, a pozostałe dwa wierzcho- 
łki odwzorować korzystając z powinowactwa osiowego prostokątnego. 
Zagadnieniem odwrotnym do wykonania kładu jest podniesienie płaszczyz- 
ny z kładu. Pokażemy je w zadaniach. 
Zadanie 1: Wyznaczyć rzuty trójkąta równobocznego o boku 2 cm na 
płaszczyźnie IX = pc. 
Zadanie to rozwiążemy (rys. 8.15) w kolejności: 
- dokonamy kład płaszczyzny IX = pc, 



- 73 - 


- na płaszczyźnie IX O budujemy trójkąt równoboczny A °Boc o spełniający wa- 
runki zadania, 
- podnosimy z kładu. 
Podnosząc z kładu, określamy jeden rzut (na rys. 8.15 był to rzut poziomy) 
korzystając z powinowactwa. Następnie określamy i drugi rzut na podstawie 
przynależności 
ABC do płaszczyzny lX=pC. 


ci 


pilE !hl" 


Rys. 8.15. Podniesienie kładu trójkąta równobocznego 


Zadanie 2: Dana jest płaszczyzna określona punktem A i prostą a. Znaleźć 
rzuty trójkąta prostokątnego równoramiennego ABC, o kącie prostym przy 
wierzchnołku B i wierzchołkach B, C leżących na prostej a. 
Kolejność czynności przy rozwiązaniu (rys. 8.16) tego zadania taka sama jak 
i w poprzednim. 


8.6. Kolineacja 


8.6.1. Określenie kolineacji 
Układem płakim nazywamy zbiór wszystkich punktów i prostych (właś- 
ciwych i niewłaściwych) danej płaszczyzny IX. 



- 74- 


p"= 1"=fJ" 


Rys. 8.16. Podniesienie z kładu trójkąta 
prostokątnego 


o 


Rys. 8.17. Kolineaąa środkowa 



- 75- 


Weźmy pod uwagę dwa układy płaskie 1X 1 i 1X 2 (rys. 8.17). Jeśli określona jest 
odpowiedniość, która każdemu punktowi Xl układu 1X 1 przypisuje jakiś punkt 
X 2 układu 1X 2 , to mówimy, że mamy podane przekształcenie układu (1X 1 ) na układ 
(1X2)' W geometrii wykreślnej największe znaczenie mają tzw. przekształcenia 
kolineacyjne lub kolineacje. 
Określenie: Przekształcenie układu 1X 1 na układ 1X 2 nazywa się kolineacyjne 
(rys. 8.17) jeśli dla każdej trójki X l ,Y 1,Zl punktów układu 1X 1 1eżących na prostej, 
odpowieadające im trzy punkty X 2 ,Y 2,z2 układu 1X 2 również leżą na prostej 
układu 1X 2 . Krawędź k przecięcia płaszczyzn 1X 1 i 1X 2 nazywamy osią kolineacji, 
punkt O środkiem kolineacji, a proste przechodzące przez punkt O promieniami 
kolineacji. Punktom prostej al układu 1X 1 odpowiadają punkty prostej a 2 , która 
przecina się z prostą al na osi kolineacji k w punkcie I. 


8.6.2. Powinowactwo 
Szczególny przypadek opisanego przekształcenia, gdy O jest punktem 
niewłaściwym 0 00 nazywamy powinowactwem (rys. 8.18). Punkt O'" nazywamy 
wówczas kierunkiem powinowactwa, a krawędź płaszczyzn 1X 1 i 1X 2 nazywamy 
osią powinowactwa. Kiedy krawędź jest prostopadła do kierunku, mamy 
powinowactwo osiowe prostokątne. 


Rys. 8.18. Powinowactwo osiowe 


Kolineacja (powinowactwo) ma również zastosowanie do wyznaczania prze- 
krojów wielościanów i brył obrotowych. Przykłady w rozdziale X (punkt 10.3) 
i w rozdziale XI (punkt 11.5). 



Rozdział IX 


TRANSFORMACJE UKŁADU ODNIESIENIA 


Celem odwzorowania poprzez transformację układu odniesienia jest uzys- 
kanie względem wsprowadzanego (układu odniesienia) położenia dogodnego dla 
ustalenia zależności, np. miarowych między odwzorowanymi figurami W rezul- 
tacie transformacji figura sprowadzona zostaje z położenia dowolnego w szcze- 
gólne, którym może być położenie rzutujące lub równoległe do rzutni. 


o) 


If 


b) 
fi" 


li 


I(-ł 


eJ 


d} 


fi" 


Rys. 9.1. Szczególne położenie figur płaskich względem układu 
odniesienia (układ odniesienia pominięto) 


Przykłady: 
1) Dla określenia naturalnej długości odcinka należy go sprowadzić w położe- 
nie równoległe do jednej z rzutni (rys. 9.1). 



- 77- 


2) W celu wyznaczenia odległości punktu od prostej, prostą należy sprowadzić 
w położenie rzutujące (rys. 9.1b). 
3) Żeby znaleźć odległość między prostymi równoległymi proste te przep- 
rowadzamy w położenie rzutujące (rys. 9.1c). 
4) Dla wyznaczenia odległości między prostymi skośnymi, jedna z nich 
powinna zająć położenie rzutujące (rys. 9.1d). 
5) Odległość punktu od płaszczyzny możemy określić bez trudu, jeśli 
płaszczyzna jest rzutująca (rys. 9.2a). 
6) Odległość między płaszczyznami będzie dana w naturalnej wielkości jeśli 
będą one rzutujące (rys. 9.2b). 
7) Wielkość figury płaskiej jest naturalną dla płaszczyzn równoległych do 
jednej z rzutni (rys. 9.2c). 


A' El ci 


o) 


b) 


A' 


8' ci 


c) 


Ił 


B' 


li 


Rys. 9.2. Szczególne położenie figur płaskich względem rzutni 


Rysunki 9.1 i 9.2 pokazują tylko ostateczne położenie figury w nowym 
układzie odniesienia po odwzorowaniu. Transformacja układu odniesienia 
polega na wprowadzaniu dodatkowych (kolejno prostopadłych rzutni) do 
pierwotnego układu odniesienia, złożonego z dwóch prostopadłych do siebie 
rzutni 71: 1 , 7I: z . Każdą następną rzutnię 71: 3 , 71: 4 ,,, wprowadzamy prostopadle do 
poprzedniej, a więc 71: 3 prostopadle do 71: 1 lub do 7I:z, 71: 4 prostopadle do 71:3 itd. 



- 78- 


Każda nowo wprowadzona rzutnia jest wprowadzana w ściśle określonym celu, 
a więc np. 71: 3 równolegle do prostej, 71: 4 następnie prostopadle do tej prostej, przy 
sprowadzaniu prostej w położenie rzutujące. 


9.1. Transformacja punktu 


W pierwotnym układzie odniesienia przyjmujemy punkt A oraz wprowadza- 
my trzecią rzutnię 71: 3 prostopadle do jednej z rzutni 71:1 lub 7I: z . Na rys. 9.3. 71: 3 
wprowadzono prostopadle do 71: 1 , Znajdujemy rzuty Al, AIl oraz A III - rzut 


Rys. 9.3. Wprowadzenie rzutni 
transformowanej 1t3 


prostokątny punktu A na rzutnię 71: 3 , Mamy teraz dwa układy odniesienia; jeden 
określony przez rzutnie 71: 1 i 7I: z u(7I: l ,7I: Z ) oraz drugi U(7I: l ,7I: 3 ) - określony przez 
rzutnie 71: 1 i 71: 3 , Rzuty punktu (ogólniej: figury) na 71: 1 i 7I:z będą więc parą rzutów 
bezpośrednio związanych z sobą w pierwszym z wymienionych układów, a rzuty 
na 71: 1 i 71: 3 tworzą drugą parę rzutów związanych bezpośrednio. Jak łatwo 
zauważyć wysokości punktu A w obu układach u(7I: l ,7I: Z ) i U(7I: l ,7I: 3 ) są jednakowe. 
Oba układy sprowadzamy następnie do jednej wspólnej płaszczyzny. Najwygod- 
niej wszystkie rzutnie 71: 1 , 7I: z , 71: 3 i 71: 4 , 71: s... Geśli byłyby takie wprowadzone) 
sprowadzić zawsze do płaszczyzny 71:1 lub 7I:z. I tak, jeśli wprowadzano 71: 3 171:1 
lub 71: 3 1 71: Z i kolejno 71: 4 171: 3 , 7I: s 171: 4 ", to sprowadzamy najpierw 71:1 i 7I:z do jednej 
z nich, nazwijmy ją 71:, a następnie kolejno do 71: sprowadzamy 7I: 3 ,7I: 4 ,7I: S '" . Na rys. 
9.3 pokazano jak sprowadzić rzutnie 71:1' 7I:z, 71:3 do płaszczyzny 7I:z, a na rys. 9.4 
obraz otrzymany w wyniku tego przekształcenia. 



Rys. 9.4. Przedstawienie płaskie rzutni 
transformowanych 


%" JT 2 
JTj 


Rys. 9.5. Określenie kolejnych rzutów 
transformowanych 


-79- 


1114 


A fl 


w 


%12 JT 2 
JT, 


A" 


.ns 



- 80- 


Na rys. 9.5 podano przykład przedstawienia na płaszczyźnie wprowadzonych 
w następujący sposób rzutni transformowanych 71: 3 171: 1 , 71: 4 171: 3 , 71: 5 171: 4 , Ob- 
razowo opisano na nim sposób odwzorowywania (odmierzania współrzędnych), 
oznaczono osie według zasady: Xij - oś układu U(7I:i,7I: j ) i rzuty Ak - rzut na 
rzutnię 7I: k (k na oznaczeniu N zapisujemy rzymskimi cyframi). 
Wprowadzono rzutnie 71: 3 , 71: 4 ", nazywamy rzutniami transformowanymi, 
a rzuty na nie rzutami transformowanymi. 


9.2. Transformacja prostej. Zagadnienia miarowe 


Zgodnie z twierdzeniem, że dwa punkty określają prostą, do określenia rzutu 
transformowanego prostej należy przetransformować dwa różne punkty prostej, 
obrazy tych punktów określą obraz prostej. Konstruując kolejne rzuty transfor- 
mowane prostej, chcemy najczęściej sprowadzić ją do położenia rzutującego, 
przy którym najłatwiej określić odległość innych figur od prostej, względnie do 
położenia równoległego do rzutni transformowanej w celu określenia rzeczywis- 
tej długości odcinków zawartych w prostej. Wiemy, że jeśli w stosunku do jednej 
z dwu rzutni wzajemnie prostopadłych prosta zajmie położenie rzutujące, to rzut 
na drugą rzutnię jest w naturalnej wielkości. W celu sprowadzenia prostej 
w położenie rzutujące należy więc na poprzednim rzucie transformowanym 
określić naturalną wielkość prostej. Z drugiej strony wiemy, że jeśli prosta jest 
równoległa do rzutni, to rzut na tę płaszczyznę jest w rzeczywistej wielkości Te 
dwa stwierdzenia określają tok postępowania przy transformowaniu prostej. 
Mianowicie: 
wprowadzamy jedną rzutnię równoległą do prostej, a następnie drugą protopad- 
le do tej prostej, to prosta zajmie w stosunku do tej ostatniej rzutni położenie 
rzutujące. 
Zadanie 1: 
Wyznaczyć p(A,B) rzeczywistą wielkość odcinka AB. (Rozwiązanie na rys. 9.6). 
Zadanie 2: 
Wyznaczyć p(A,a) odległość punktu A od prostej a. (Rozwiązanie na rys. 9.7). 
Zadanie 3: 
Wyznaczyć p(a,b) odległość między prostymi równoległymi a,b. (Rozwiązanie na 
rys. 9.8). 
Zadanie 4: 
Wyznaczyć p(a,b) odległość między prostymi skośnymi a,b. Określić odcinek 
odległości na rzucie pozio mym i pionowym. Rozwiązanie na rys. 9. 9 - na rz ucie 
na 71: 4 odcinek odległości AIVB IV jest w naturalnej wielkości, rzut AIIIB III jest 
więc równoległy do osi X 34 . Korzystając z tego bez trudu określimy A. 



X/ 2 JT 2 

 


Rys. 9.6. Transformacja odcinka 


- 81 - 


Bil 


Xf3 


X,z 


.Jl2 
.l1j 


Rys. 9.7. Odległość punktu od prostej 



- 82- 


o' 


ta 


"13 


X34 
Rys. 9.8. Wyznaczanie p(a,b) (ali b) metodą transformacji 


X '2 


9(0, b) 
IV 


Rys. 9.9. Wyznaczanie odległości między prostymi skośnymi 



- 83 - 


9.3. Transformacja płaszczyzny. Zagadnienia miarowe 


W celu znalezienia rzutu transformowanego płaszczyzny, trzeba znaleźć 
obrazy trzech niewspółliniowych punktów płaszczyzny. Przy transformacji 
płaszczyzn najczęściej chcemy sprowadzić płaszczyznę w położenie rzutujące lub 
równoległe do rzutni 
Jeśli prosta zawarta w transformowanej płaszczyźnie została sprowadzona 
poprzez transformację w położenie rzutujące, to płaszczyzna będzie też rzutująca. 
W ogólnym przypadku w celu sprowadzenia prostej w położenie rzutujące 
potrzeba dwóch kolejnych transformacji,jeśli zaś weźmiemy prostą główną to do 
sprowadzenia tej płaszczyzny położenia w położenie rzutujące wystarczy tylko 
jedna transformacja (rys. 9.10). W takim przypadku do określenia rzutu 
transformowanego płaszczyzny wystarczy przetransformować dwa punkty: 
punkt przecięcia prostych głównych P i różny od niego dowolny punkt (najlepiej 
przynależny do jednej z prostych głównych). 


P,' 


R' . 
, 


Xf2 


Rys. 9.10. 


Zadanie 1: 
Znaleźć P(1X,fJ) odległość płaszczyzn równoległych IX i fJ. Rozwiązanie na rys. 9.10. 



- 84- 


Zadanie 2: 
Znaleźć p(A,IX) odległość punktu A od płaszczyzny lX=pc. Rozwiązanie na rys. 
9.11). 


]C 12 


Rys. 9.11. 


Zadanie 3: 
Znaleźć p(A,IX) odległość punktu A od płaszczyzny lX=ab, allb. Rozwiązanie na 
rys. 9.12. Rozwiązując to zadanie, najpierw określamy prostą poziomą i prostą 
czołową płaszczyzny IX, a dalej rozwiązujemy jak poprzednie zadanie. 
Zadanie 4. 
Wyznaczyć rzeczywistą wielkość AABC. Płaszczyzną ABC sprowadzamy naj- 
pierw w położenie rzutujące, a poprzez wprowadzenie następnej rzutni równoleg- 
le do płaszczyzny ABC na kolejnym rzucie transformowanym AAIVBIVCIV 
będzie naturalną wielkością AABC (rys. 9.13). 


9.4. Rzutnia boczna. Odwzorowanie elementów 


Przyjmujemy układ trzech rzutni do siebie prostopadłych 71: 1 , 7I: z , 71: 3 , Rzutnię 
71: 3 nazywamy rzutnią boczną. Rzutnie te przecinają się w krawędziach x, y, z, 
które nazywamy osiami rzutów. Układ odniesienia (rys. 9.14a) sprowadzamy do 
płaszczyzny rysunku przez obrót rzutni poziomej dokoła osi x i rzutni bocznej 
dokoła osi z o kąty 90 0 , a następnie układ odniesienia przenosimy na płaszczyznę 
rysunku p, (rys. 9.14b). 



x,] 


a' 


Rys. 9.12. 


Rys. 9.13. 


- 85 - 


tf 


A'" 


X ł2 



aj 


b) 


(-y) 


- 86- 


VIII 


IV 


z (-y) 


x 


o 


y(lTj ) 
(-x) 


ytJTj) (-z) 


Rys. 9.14. Układ trzech rzutni (z rzutnią boczną) 



- 87- 


Jak widzimy, oś y występuje dwukrotnie, raz na 71: 1 i drugi raz na 71: 3 , Przestrzeń 
jest podzielona na 8 części zwanych ósemkami lub oktantami. Numeracja części 
jest podobna do numeracji ćwiartek, z tym że część I, II, III, IV leżą po lewej 
stronie rzutni bocznej, a części V, VI, VII i VIII po prawej, jak zaznaczono na 
rysunku. 
Dla wyznaczenia rzutów punktu A przyjmujemy rysunek uproszczony 
układu odniesienia przedstawiający tylko I część przestrzeni (rys. 9. 15a). 
Znajdujemy rzuty Al, A Il , A IIl punktu A znanym sposobem. A III nazywamy 
rzutem bocznym punktu A. Ustalamy odległość punktu A od rzutni bocznej jako 
szerokość s punktu A. Przyjmujemy, że wszystkie trzy współrzędne s,g,w punktu 
A znajdującego się w I ósemce przestrzeni są dodatnie. Rzuty punktu A przenosi- 
my do układu odniesienia sprowadzonego do płaszczyzny rysunku p (rys. 9.15b). 


aj 


2 
Ali g A'" 
b) 
S 
w 
w 
x y 
g 
A' S 
Rys. 9.15. Punkt w układzie trzech rzutni y 



- 88- 


aJ 


z 
A' ANI 
X Y 
A' 
Y 


b) 


s" 


2 


8/1( 


8 1 
/' 
/ 


x 


y 


y 
ej C' z 
d) Z 
x y 


c- 
c" y 
ej 
2 
E" E- 
x y 
E' 
Y 


x 


y 


D'. 


Dl 
Rys. 9.16. Rzuty punktów na trzy rzutnie: a) punkt 
A leży w I ósemce, b) B leży w II ósemce, e) leży w 
III ósemce, d) punkt D w VIII ósemce, e) E leży na 


z 


71: 3 


Szerokości punktów leżących w częściach od I do IV są dodatnie, bo leżą po lewej 
stronie rzutni bocznej, oraz szerokości punktów w częściach od V do VIII są 
ujemne. Szerokości punktów leżących na rzutni bocznej są równe O. Wyznaczmy 
rzuty różnych punktów leżących w różnych częściach przestrzeni i na rzutniach 
(rys. 9.16). 


Odwzorowanie odcinka i prostej w ukladzie trzech rzutni 
W celu odwzorowania odcinka należy określić rzuty jego końców na trzy 
rzutnie 71: 1 , 7I: z , 71: 3 , przykład na rys. 9.17. 
Położenie prostej w układzie trzech rzutni określamy rzutując dwa dowolne 
(różne) punkty prostej na 71:1> 7I:z, 71:3' przykład na rys. 9.18. 



- 89- 


2 
B/1 Bili 


y 


y 


A III 


Al 


y 


Rys. 9.17 


y 
Rys. 9.18. 


Odwzorowanie plaszczyzny 
Odwzorowanie płaszczyzny polega na odwzorowaniu elementów, które ją 
określają, przykład na rys. 9.19. 


x 


C"y 


A' 


Rys. 9.19. 


d 


y 


Zadanie 1: 
Wyznaczyć k = IXn fJ kra wędź płaszczyzn IX = ABC i fJ = mn (m,n II x). Rozwiązanie 
na rys. 9.20. (Wyznaczamy najpierw k III , a dopiero później F i kIl). 
Zadanie 2: 
Wyznaczyć k=lXnfJ - krawędź płaszczyzn IX i fJ równoległych do osi x (IX, 
fJ - płaszczyzny boczno-rzutujące). Rozwiązanie na rys. 9.21. 



-90- 


z 


)( 


A"' 


y 


A' 


y 


Rys. 9.20. 


.tf= Cli 
Y 


A' 


C' 


y 


Rys. 9.21. 



Rozdział X 


WIELOŚCIANY 


10.1. Rodzaje wielościanów 


Wielościanem nazywamy bryłę, której ściany złożone są ze skończonej ilości 
wielokątów płaskich. Wielościany mogą być wklęsłe i wypukłe, dzielimy je na: 1) 
ostrosłupy, 2) graniastosłupy, 3) wielościany foremne i półforemne, 4) wielościany 
nieforemne. 
Ostrosłupy - wielościany mające ściany boczne w postaci trójkątów 
o jednym wspólnym wierzchołku zwanym wierzchołkiem ostrosłupa, w którym 
przecinają się krawędzie boczne ostrosłupa oraz podstawę w postaci dowolnego 
wielokąta płaskiego, którego boki nazywamy krawędziami podstawy. Mamy 
ostrosłupy proste i pochyłe. Ostrosłup prosty jest to taki, którego podstawę 
można wpisać w okrąg, a spodek wysokości leży w środku tego okręgu. 
Krawędzie boczne są zatem równej długości. Ostrosłup pochyły nie spełnia tych 
warunków. Ostrosłup prosty, którego podstawą jest wielokąt foremny, nazywa- 
my ostrosłupem prawidłowym. 
Graniastosłupy - wielościany mające ściany boczne w postaci równoleg- 
łoboków lub prostokątów, oraz dwie równoległe podstawy, krawędzie boczne są 
do siebie równoległe. Mamy graniastosłupy proste i pochyłe. Graniastosłup 
prosty ma krawędzie boczne prostopadłe do podstaw, a ściny boczne są 
prostokątami. Graniastosłup pochyły nie spełnia tych warunków. Graniastosłup 
prosty, którego podstawy są przystającymi wielokątami foremnymi nazywamy 
graniastosłupem prawidłowym. 
ffielościany foremne - inaczej bryły Platona, są to wielościany, których 
ściany złożone są z jednakowych wielokątów foremnych. Istnieją następujące 
wielościany foremne: 
1) czworościan - utworzony z 4 trójkątów równobocznych, 
2) sześcian - z kwadratów, 
3) ośmiościan foremny trójkątów foremnych, 
4) dwunastościan foremny - z pięciokątów foremnych oraz 
5) dwudziestościan foremny, utworony z 20 trójkątów równobocznych. 
ffielościany pólforemne utworzone są z niejednakowych wielokątów forem- 
nych. Wielościany, których nie możemy zaliczyć do jednej wyżej wymienionych 
rodzajów, są wielościanymi nieforemnymi. 



- 92- 


10.2. Rzuty wielościanów 


Rzuty wielościanu wyznaczamy, określając rzuty jego wierzchołków, a na- 
stępnie jego krawędzi. Rzut konturu wielościanu nazywamy zarysem wielo- 
ścianu. Jeżeli założymy, że ściany wielościanu są nieprzeźroczyste, to przy 
kierunku patrzenia k 171: kontur wielościanu jest linią podziału jego ścian, 
krawędzi i wierzchołków na widoczne i niewidoczne. Przykład rzutów graniasto- 
słupa i określenia widoczności jego krawędzi podano w punkcie 9.4. Obecnie 
podamy kilka dalszych przykładów rzutów wielościanów: 
J 1) Rzuty ostrosłupa o podstawie 
k f ABCD (równoległobok) i wierzchołku 
8' W na dwie rzutnie (rys. 10.1). W celu 
określenia widoczności krawędzi ostro- 
słupa w obu rzutach przyjmujemy kie- 
runki widzenia: k 1 171: 1 - kierunek wi- 
dzenia z góry i k z 17l: z - kierunek 
W" 
widzenia z przodu. Następnie bierzemy 
A' pod uwagę punkty przecięcia się rzutów 
krawędzi: 11:: 2 1 w rzucie poziomym 
i Jl:: 4 1 w rzucie pionowym. Znajduje- 
my brakujące rzuty tych punktów 
i stwierdzamy że wysokość punktu 2 jest 
większa od wysokości punktu 1, więc 
punkt 2 i krawędź BW wą w rzucie 
poziomym widoczne, a krawędź DC jest 
li niewidoczna oraz głębokość punktu 
3 jest większa od głębokości punktu 4, 
więc punkt 3 i krawędź BW są widoczne 
l w rzucie pionowym,a krawędź DC jest 
k z nie widoczna. 
2) Rzuty ostrosłupa (o podstawie 
ABC leżącej na rzutni 71: 1 ) na trzy rzutnie 
W' (rys. 10.2). 


Rys. 10.1. Rzuty ostrosłupa dowolnego 
(czworokątnego) 


3) Rzut ostrosłupa prawidłowego o podstawie kwadratowej leżącej w płasz- 
czyźnie poziomej J1., długośćć boku 3 cm, wysokość - 4 cm (rys 10.3). 
4) Rzuty graniastosłupa prostego na trzy rzutnie (rys. 10.4). 
5) Rzuty graniastosłupa pochyłego na dwie rzutnie, podstawa równoległa do 
71: 1 (rys. 10.5). 



- 93- 


z 


W ll 


x 


Ali 


CI 


y 


Rys. 102. Rzuty ostrosłupa pochyłego trójkątnego w układzie trzech 
rzutni 


wl/ 


fJ" 


" 


Rys. 10.3. Rzuty ostrosłupa 
prawidłowego prostego (kwa- 
dratowego) 


CI 


y 


1.0 



- 94- 


[;" 


Fil 


H" 


Gil Z F/f 


Fil Gil 


Hill 


x 


Ali 


y 
D'" 


D
H' 


y 


Rys. 10.4. Rzuty graniastosłupa prostego czworokątnego w układzie 
trzech rzutni 


A' 


Eh Fil 


A' 


Rys. 10.5. Rzuty graniastosłupa pochyłego 
trójkątnego 



6) Rzuty czworościanu foremnego, 
podstawa równoległa do 71: 1 , Wy- 
sokość wyznaczono z kładu odcin- 
ka AS (Rys. 10.6) 


Rys. 10.6. Czworościan foremny 


7) Wyznaczanie rzutów ośmiościa- 
nu foremnego o przekątnej piono- 
wej długości 6 cm (rys. 10.7) 


Rys. 10.7. Ośmiościan foremny 


- 95- 


w" 


p' 


c' 


60 



- 96- 


0/1 


Fil 


E" 


[j 


\ 
\ w 
\ 
\ 
\ 


).1" 


oC' 


Rys. 10.8. Ośmiościan foremny 



- 97- 


c' 


bO Rys. 10.9. sześcian ABCD AIB1C1Dl o bo- 
ku 4 cm ustawiony na płaszczyźnie a:=ab 
(allb) 



- 98- 


Rys. 10.10. Sześcian o boku 3 cm ustawiony 
na płaszczyźnie Ct:=ab (ali b) 



-99- 


Konstrukcję rozpoczynamy od wyznaczenia rzutu poziomego i pionowego 
dABC i rzutów poziomych pozostałych wierzchołków ośmiokąta, które w rzucie 
poziomy m w raz z Al, BI, CI wyznaczają sześciokąt foremny. Znając rzeczywistą 
długość GE wysokości dBCE równą wysokości dABC i wykorzystując kład 
określamy różnicę wysokości punktów E i G, a następnie rzut pionowy punktu 
E i kolejno D Il , FIl. 
9) Wyznaczyć rzuty sześcianu o boku 4 cm ustawionego na płaszczyźnie 
lX=ab, allb, bok AB leży na prostej a. Kolejność rozwiązania (rys.. 10.9) metodą 
kładu: wykonujemy kład płaszczyzny IX. Na 1X 0 określamy kwadrat AOBocoD o , 
a następnie podnosimy go z kł adu. K orzystając z kładu pomocniczego określamy 
długości rzutów wysokości AA l sześcianu, a następie konstruujemy rzuty 
punktów Al' Bl' C l , Dl' Określamy widoczność. Rozwiązanie metodą transfor- 
macji pokazano na rys. 10.10 (dla sześcianu o boku a = 3 cm). 


10.3. Przekroje i rozwinięcia wielościanów 


W przekroju wielościanu płaszczyzną otrzymać możemy w ogólnym przypa- 
kdu wielokąt, którego liczba boków nie może przekroczyć liczby ścian prze- 
krojonego wielościanu. 
W szczególnym przypadku figurą przekroju może być punkt albo odcinek. 
Przykładowo w przekroju czworościanu może występować czworokąt, trójkąt, 
odcinek, punkt. 
Wielokąt przekroju jest jednoznacznie określony, jeśli znane są jego wszyst- 
kie wierzchołki Wierzchołkami wielokąta przekroju są punkty przebicia płasz- 
czyzny przekroju krawędziami wielościanu. 
Dlatego też, żeby wyznaczyć przekrój wielościanu wystarczy określić punkty 
przebicia płaszczyzny przekroju krawędziami krojonego wielościanu. Zadanie 
określenia przekroju jest bezproblemowe, jeśli płaszczyzna jest rzutująca. Jeśli 
dana płaszczyzna przekroju nie jest rzutująca, to najlepiej ją sprowadzić 
w położenie rzutujące poprzez transformację układu odniesienia i dopiero wtedy 
wyznaczyć przekrój. 
Do wyznaczania przekrojów ostrosłupów i graniastosłupów można wyko- 
rzystać zależności kolineacji między płaszczyznami przekroju i podstawy. 
Zagadnienie to rozpatrzymy na przykładach. 
Przykład 1. 
Wyznaczyć przekrój ostrosłupa płaszczyzną cp pionowo-rzutującą, znaleźć 
rzeczywistą wielkość przekroju oraz wyznaczyć rozwinięcie (siatkę) ostrosłupa 
z zaznaczeniem linii przekroju. Rozwiązanie na rys. 10.11. 
Wyznaczenie wierzchołków wielokąta przekroju nie stanowi problemu - są 
nimi punkty przebicia krawędzi ostrosłupa z płaszczyzną przekroju cp, określimy 



).111 


2° 


- 100 - 


w" 


\)' 


, 
f 


B 


B 


A 


Rys. 10.11. Przekrój płaszczazną rzutującą i rozwinięcie ostrosłupa trójkątnego 



- 101 - 


te punkty na rzucie pionowym. Rzeczywistą wielkość przekroju przykładowo 
wyznaczymy metodą kładu dokoła prostej celowej k=J.lnqJ. 
Dla wyznaczenia rzeczywistych długości krawędzi bocznych ostrosłupa 
stosujemy metodę obrotu. W tym celu przez wierzchołek ostrosłupa wprowadzi- 
my płaszczyznę czołową v i obracamy krawędziami W A, WB, WC tak, aby się 
znalazły w płaszczyźnie v. 
W nowym położeniu krawędzie te są w naturalnej długości na rzutni 
pionowej. Można też z łatwością ustalić prawdziwe położenie wierzchołków 
przekroju 2 i 3, wiedząc, że przy obrocie odcinków dokoła osi pionowej l, punkt 
i jego obraz mają taką samą wysokość. Po określeniu naturalnej długości 
wszystkich krawędzi możemy skonstruować - też w naturalnej wielkości 
- ściany ostrosłupa, które łączymy z sobą na płaszczyźnie rysunku w taki 
sposób, żeby całkowita długość niepołączonych jednoimiennych krawędzi była 
minimalną - tak skonstruujemy rozwinięcie. 


Przykład 2. 
Wyznaczyć przekrój ostrosłupa płaszczyzną dowolną qJ = KLM, znaleźć 
rzeczywistą wielkość przekroju oraz wyznaczyć rozwinięcie siatki ostrosłupa 
z zaznaczeniem linii przekroju. Zadanie rozwiązujemy (rys. 10.12) metodą 
transformacji układu odniesienia: w celu sprowadzenia w położenie rzutujące 
wprowadzamy trzecią rzutnię 71: 3 prostopadle do qJ i 71: 1 , znajdujemy trzeci rzut 
ostrosłupa i IXIII trzeci rzut płaszczyzny IX. Znajdujemy wielokąt przekroju 
1-2-3-4-5-1 we wszystkich rzutach rozpoczynając od trzeciego. Rzeczywistą 
wielkość przekroju znajdujemy metodą kładu na płaszczyznę poziomą. 
Rozwinięcie siatki ostrosłupa wyznaczamy podobnie jak w przykładzie 
poprzednim, obracając krawędzie boczne WB i WC do płaszczyzny czołowej 
v przechodzącej przez wierzchołek ostrosłupa. Krawędzie W A i WD od- 
wzorowują się w rzucie pionowym w rzeczywistej wielkości.. 
Przykład 3. 
Wyznaczyć przekrój graniastosłupa prostego płaszczyzną rzutującą, wy- 
znaczyć rzeczywistą wielkość przekroju oraz znaleźć rozwinięcie siatki graniasto- 
słupa z zaznaczeniem linii przekroju. 
Zadanie to rozwiązujemy analogicznie jak przykład 1, z tym że, nie 
potrzebujemy wyznaczyć rzeczywistej wielkości krawędzi graniastosłupa pro- 
stego ( boczne krawędzie są w naturalnej wielkości na rzucie pionowym, 
podstawa zaś na rzucie poziomym - rys. 10.13). 
Przykład 4. 
Wyznaczyć przekrój normalny graniastosłupa pochyłego płaszczyzną prze- 
chodzącą przez punkt N oraz znaleźć rozwinięcie siatki graniastosłupa z za- 
znaczeniem linii przekroju. 



- 102 - 


K' 


Lin 


Rys. 1O.12a) Przekrój ostrosłupa czworokątnego płaszczyznowego 
nierzutującą 



- 103 - 


D 


4 


w 


c 


D 


B 


B 


Rys. 10.12.b) Rozwinięcie ostrosłupa czworokątnego 
z zaznaczeniem linii przekroju 


Zadanie rozwiązujemy (rys. 10.14 i 10.15) metodą transformacji. Przez punkt 
N prowadzimy płaszczyznę IX prostopadłą do krawędzi bocznych. W celu 
sprowadzenia IX w położenie rzutujące, wprowadzamy 71: 3 171: 1 i 7I:311X. W rzucie 
trzecim znajdujemy rzut przekroju 1-2-3-4-1 i rzeczywiste długości krawędzi 
bocznych, a w rzucie czwartym na 71: 4 rzeczywistą wielkość przekroju. Boki 
wielokąta przekroju są równe szerokości ścian bocznych graniastosłupa. W roz- 
winięciu siatki graniastosłupa (rys. 10.15) linia przekroju jest prostą. 
Do wyznaczania przekroju wielościanów (graniastosłupów i ostrosłupów) 
płaszczyznami może mieć zastosowanie również metoda kolineacji środkowej 
i powinowactwa osiowego układów płaskich. Jeżeli qJ - płaszczyzna przekroju 
(rys. 10.16) przecina li - płaszczyznę podstawy wielościanu (graniastosłupa lub 
ostrosłupa) wzdłuż krawędzi k, wówczas boki przekroju przecinają się na 
krawędzi k z odpowiadającymi im bokami podstawy albo są do krawędzi 
k równoległe, jeśli boki podstawy są do krawędzi k równoległe. Twierdzenie to 
ilustrują rysunki: 10.16a i b. 
Jeśli na przykład płaszczyzny li, qJ i płaszczyzna ściany BC32 graniastosłupa 
lub płaszczyzna ściany WBC ostrosłupa przecinają się w punkcie II, to ich trzy 
krawędzie: krawędź k, prosta BC i prosta B 1 C l przecinają się w tym samym 
punkcie II. W pierwszym przypadku między układem płaskim na płaszczyźnie 
li (podstawą graniastosłupa), a układem płaskim na płaszczyźnie qJ (przekrojem 
graniastosłupa) występuje znany związek - powinowatwo osiowe. Jeśli wiąc 
wyznaczymy rzut prostokątny na dowolną płaszczyznę 71: (nie prostopadłą ani do 
płaszczyzny li jego podstawy, ani do płaszczyzny qJ jego przekroju), to na tej 
płaszczyźnie 71: między rzutem podstawy graniastosłupa a rzutem jego przekroju 
zachowany zostanie związek powinowactwa osiowego. 



- 104 - 


u 


o 
C"I 


o 
IJI) 

 
.... 
"" 
..Id 
o 
.... 
o 

 
t3 

 
E 
'" 
o 
!5. 
ł 
'" 
o 
.... 
'" 
cd 
.
 
Sb 


.9a 
<.) 
... 
:6 

 
N 
S 


"" 
<.) 
"" 
Oj 
= 
tj 
"" 
l': 
N 

 

 
.a 
c. 
..,., 
-O 
J;j 

 


M 
..... 
<:> 
..... 



 



- 105 - 


XłZ 


cm 
f 


c: 


Rys. 10.14. Przekrój normalny graniastosłupa pochyłego czworokątnego 



- 106 - 


(. 


D 


A 


At 


Dt 


Rys. 10.15. Rozwinięcie graniastosłupa pochyłego czworokątnego 


Rys.lO.16.a) Zależności kolineacyjne (powinowactwa osiowego) między 
przekrojem, a podstawą graniastosłupa 



- 107 - 


Rys. 1O.16.b). Zależności kolineacji środkowej między przekrojem, 
a podstawą ostrosłupa 


W szczególności, jeśli podstawa ganiastosłupa leży na płaszczyźnie poziomej 
Jl. (lub na płaszczyźnie czołowej v), to z powyższego wynika, że: między układem 
na płaszczyźnie Jl. (lub v) podstawy graniastosłupa a układem qJI rzutu poziomego 
(lub qJIl rzutu pionowego) jego przekroju płaszczyzną qJ występuje związek 
powinowactwa osiowego, przy czym osią tego powinowactwa jest krawędź 
k płaszczyzny podstawy Jl.(lub v) z płaszczyzną przekroju qJ, a kierunek 
powinowactwa jest równoległy do rzutów poziomych aIIJb I (lub do rzutów 
pionowych aIIllbIl...) krawędzi bocznych ali b... tego graniastosłupa. 


Przykład 1. 
Dane są rzuty graniastosłupa trójkątnego, ukośnego, którego podstawa leży 
na płaszczyźnie poziomej Jl.. Wykreślić rzuty przekroju tego graniastosłupa 
płaszczyzną dowolną qJ = pc (pnc = P) stosując metodą powinowactwa osiowe- 
go. Rozwiązanie podano na rys. 10.17. 
Określimy najpierw jeden dowolny wierzchołek przekroju jako punkt 
przebicia krawędzią boczną graniastosłupa. W tym celu przez dowolną krawędź 



- 108 - 


Rys. 10.17. Wyznaczanie przekroju graniastosłupa na podstawie 
zależności powinowactwa osiowego 


boczną graniastosłupa prowadzimy pomocniczą płaszczyznę pionowo-rzutującą 
fJ i wyznaczamy krawędź k l przecięcia tej płaszczyzny z płaszczyzną qJ = pc. 
Wyznaczony punkt B l jest pierwszym wierzchołkiem szukanego przekroju 
graniastosłupa. Rzuty poziome dalszych wierzchołków przekroju graniastosłupa 
wyznaczymy stosując zależności powinowactwa osiowego układów płaskich. 
Wyznaczany trójkąt A
B
C
 jest rzutem poziomym szukanego przekroju 
graniastosłupa. Następnie znajdujemy rzut pionowy. 
Przykład 2. 
Dane są rzu ty ostrosłu pa trójkątnego, którego podstawa leży na płaszczyźnie 
poziomej J1.. Wykreślić rzuty przekroju tego ostrosłupa płaszczyzną dowolną 
qJ = Poco, ponc o = P Rozwiązanie podano na rys. 10.18. 



- 109 - 


r 


Rys. 10.18. Wyznaczanie przekroju ostrosłupa na podstawie 
zależności kolineacji środkowej 


Przez dowolną krawędź boczną np. a ostrosłupa prowadzimy pomocniczą 
płaszczyznę pionowo-rzutującą IX i wyznaczamy jej krawędź k l z płaszczyzną 
qJ = Poc o ' Punkt Al jest pierwszym wierzchołkiem szukanego przekroju ostro- 
słupa. Rzuty poziome pozostałych wierzchołków przekroju wyznaczamy wyko- 
rzystując zależności kolineacji środkowej. Wyznaczony trójkąt A; B; C; jest 
rzutem poziomym przekroju ostrosłupa. Następnie określamy rzut pionowy 
trójkąta A 1 B 1 C l . 



- 110 - 


10.4. Punkty przebicia wielościanu prostą 


W celu wyznaczenia punktów przebicia wielościanu prostą, prowadzimy 
przez tę prostą pomocniczą płaszczyzną tnącą i wyznaczamy przekrój wielo- 
ścianu. Punkty przebicia leżą na przecięciu się przekroju z prostą. 
Dany jest ostrosłup o podstawie ABCD leżącej na płaszczyźnie poziomej 
IX i o wierzchołku W oraz dana jest prosta a. Wyznaczyć punkty przebicia 
ostrosłupa prostą (rys. 10.19). 
Na prostej a obieramy właściwy punkt R, prowadzimy przez ten punkt i przez 
wierzchołek ostrosłupa prostą q. Prosta a i q określają pomocniczą płaszczyznę 
tnącą qJ. Znajdujemy krawędź k przecięcia qJ z płaszczyzną IX poprzez wy- 
znaczenie punktów przebicia Q i P. Krawędź k przecina podstawę w punktach 
1 i 2, które łączymy z wierzchołkiem. Otrzymujemy więc przekrój ostrosłupa 
płaszczyzną qJ. Na przecięciu się przekroju z prostą a leżą szukane punkty 
przebicia S i T. 
Punkt R może być niewłaściwy, prosta q przechodząca przez wierzchołek jest 
równoległa do prostej a i wówczas płaszczyzna qJ jest określona dwiema prostymi 
równoległymi. 
Przykład 2. 
Dany jest graniastosłup pochyły o podstawie leżącej na płaszczyźnie 
poziomej IX oraz dana jest prosta a. Wyznaczyć punkty przebicia graniastosłupa 
(rys. 10.20). 
Na prostej a obieramy dowolny punkt R, prowadzimy przez ten punkt prostą 
q równolegle do krawędzi bocznej graniastosłupa. Proste a i q określają 
pomocniczą płaszczyznę tnącą qJ. Krawędź k=lXnqJ znajdujemy poprzez wy- 
znaczenie punktów przebicia P i Q. 
Krawędź k przecina podstawę w punktach 1 i 2, przez które prowadzimy 
proste równoległe do krawędzi bocznych graniastosłupa. Otrzymujemy więc 
przekrój graniastosłupa płaszczyzną qJ. Na przecięciu się przekroju z prostą a leżą 
szukane punkty przebicia. 


10.5. Przenikanie wielościanów 


Wspólną linię dwóch przenikających się wielościanów nazywamy wielo- 
kątem przenikania, który jest na ogół wielokątem przestrzennym. Przenikanie 
może być niezupełne lub zupełne, w tym drugim przypadku wielokąt przenikania 
rozpada się na dwie części. 
W celu wyznaczenia wielokąta przenikania wielościanów, wyznaczamy 
najpierw wierzchołki wielokąta, a następnie łączymy je odpowiednio według 
schematu. 



- 111 - 


b) 


et" iEk" 


Rys. 10. 19. Punkty przebicia ostrosłupa prostą 



- 112 - 


b ) 


Q' 


Rys. 11.20. Punkt na powierzchni walcowej 



- 113 - 


Wierzchołkami wielokąta przenikania są punkty, w których krawędzie 
jednego wielościanu przebijają ściany drugiego i punkty, w których krawędzie 
drugiego wielościanu przebijają ściany pierwszego. Zagadnienie to wyjaśnimy na 
kilku przykładach. 
Przykład 1. 
Dane są dwa ostrosłupy (rys. 10.21), jeden o podstawie ABCD i wierzchołku 
W 1 ustawiony podstawą na płaszczyzźnie poziomej J1. i drugi o podstawie MLN 
ustawiony na płaszczyźnie czołowej v. 
Przez wierzchołki ostrosłupów prowadzimy prostą t i wyznaczamy P l' P 2 jej 
punkty przebicia z płaszczyznami J1. i v. Wyznaczamy też krawędź k=J1.nv. 
Każda płaszczyzna lX i przechodząca przez prostą t przecina ostrosłupy w krawę- 
dziach przechodzących przez wierzchołki W 1 i W 2' Prowadzimy pomocnicze 
płaszczyzny tnące lX i przechodzące przez prostą t i kolejne krawędzie boczne 
ostrosłupów. Krawędzie tych płaszczyzn z płaszczyznami J1. i v (przyjmujemy 
oznaczenia tych krawędzi kilt i kiv) przecinają się na krawędzi k. Wyznaczmy na 
przykład punkty przebicia ostrosłupa MNL W 2 krawędzią b. W tym celu 
prowadzimy pomocniczą płaszczyznę 1X 2 zawierającą B i prostą t Krawędź k21t tej 
płaszczyzny z J1. przechodzi przez punkt B. k2v - krawędź płaszczyzn 1X 2 
i v przecina podstawę MLN w punktach V i VI, które łączymy z wierzchołkiem 
W 2, otrzymując krawędzie przekroju ostrosłupa MLNW 2 płaszczyzną 1X 2 . 
Krawędzie przekroju z krawędzią b mają punkty wspólne 5 i 6, które są 
wierzchołkami wielokąta przenikania. 
W podobny sposób wyznaczamy wszystkie wierzchołki wielokąta przenika- 
nia. Stwierdzamy, że przenikanie jest niezupełne, że krawędzie a i n nie biorą 
udziału w przenikaniu. Wyznaczone wierzchołki wielokąta przenikania nanosi- 
my na schematy przenikania i odpowiednio je łączymy na schemacie (można 
łączyć z sobą tylko punkty jednego oczka), a następnie na rysunku przenikania. 
Znak ,,+" na siatce oznacza widoczność ściany bocznej ostrosłupa okreś- 
lonej przez dwie krawędzie, między którymi ustawiono ten znak, a ,,- " oznacza 
niewidoczność. 
Bok wielokąta przenikania jest widoczny wtedy i tylko wtedy, kiedy ściany 
dwóch przenikających się wielościanów przynależne do tego boku sąjednocześ- 
nie widoczne. 
T ok rozwiązania jest taki sam dla dowolnych ostrosłupów. W przypadku gdy 
podstawy obu ostrosłupów ustawione są na jednej płaszczyźnie y równoległej do 
rzutni, zadanie się upraszcza, gdyż wystarczy określić tylko punkt przebicia 
prostą t płaszczyznę y i krawędzie płaszczyzn pomocniczych z płaszczyzną y. 
Przykład 2. 
Wyznaczyć linię przenikania graniastosłupa z ostrosłupem. Dany jest 
graniastosłup o podstawie ABC i ostrosłup o podstawie KLM i wierzchołku W, 
ustawione podstawami na płaszczyźnie poziomej. Przez wierzchołek ostrosłupa 



- 114 - 


:J a . 
+f_d_a 
n -8 l 
+ 
I + 
 2- 
m _ 5 4- 
n - 7 $T 


k'sJl' 


o+b+cl+o 


 
m=r
- 
n =t-t-I\-9+ 


Rys. 10.21. Przenikanie dwóch ostrosłupów 


prowadzimy prostą t (rys. 10.22 i 10.23) równolegle do krawędzi bocznych 
graniastosłupa i wyznaczamy p jej punkt przebicia z J1.. Każda płaszczyzna 
przechodząca przez prostą t i przecinająca oba wielościany przecina graniasto- 
słup w krawędziach równoległych do krawądzi bocznych, a ostrosłup w krawę- 
dziach przechodzących przez wierzchołek W. 



- 115 - 


k I m k 


b 


Rys. 1022. Przenikanie ostrosłupa z graniastosłupem 


Dla wyznaczenia wierzchołków wielokąta przenikania prowadzimy pomocnicze 
płaszczyzny tnące przechodzące przez prostą t i kolejne krawędzie boczne 
graniastosłupa i ostrosłupa. Wyznaczamy na przykład punkty przebicia ostro- 
słupa krawędzią a graniastosłupa. W tym celu prowadzimy pomocniczą 
płaszczyznę tnącą 1X 1 przechodzącą przez krawędź a i prostą t. Krawędź 
klJl= J1.nlXl przecina podstawę ostrosłupa KLM w punktach I, II, które łączymy 
z wierzchołkiem ostrołsupa, otrzymując krawędzie przecięcia ostrosłupa płasz- 
czyzną. Krawędzie przekroju mają z krawędzią graniastosłupa a punkty wspólne 
1 i 2, które są wierzchołkami wielokąta przenikania. W podobny sposób 
wyznaczamy wszystkie wierzchołki wielokąta przenikania. Stwierdzamy, że 
przenikanie jest niezupełne i że krawędzie b i k nie biorą udziału w przenikaniu. 
Wyznaczone wierzchołki wielokąta przenikania nanosimy na schematy przeni- 
kania i odpowiednio je łączymy - na schemacie, a następnie na rysunku 
przenikania. 
Przykład 3. 
Wyznaczyć linię przenikania dwóch graniastosłupów (rys. 10.24 i 10.25). 
Dane są dwa graniastosłupy o podstawach ABC i KLM ustawionych na rzutni 
poziomej. Wyznaczamy tzw. płaszczyznę kierowniczą qJ, która jest równoległa do 
krawędzi bocznych obu graniastosłupów. W tym celu przyjmujemy w przestrzeni 
dowolny punkt P. przez który prowadzimy dwie proste p i q równoległe 
odpowiednio do krawędzi bocznych graniastosłupów. Każda płaszczyzna rów- 
noległa do qJ przecinająca graniastosłupy, przecina je w krawędziach równoleg- 
łych do krawędzi bocznych obu graniastosłupów. 



- 116 - 


/1" 


b 
+ 


c 


k
p 


II, )l 


k 5p 


Rys. 10.23 Przenikanie ost- 
rosłupa z graniastosłupem 


I 


o b C O 
+ - + 


m 
+ 
k 
+ 
I 


Rys. 10.24. Przenikanie dwóch graniastosłupów 



- 117 - 


Dla wyznaczenia wierzchołków wielokąta przenikania prowadzimy pomoc- 
nicze płaszczyzny tnące równoległe do płaszczyzny kierowniczej, przechodzące 
przez kolejne krawędzie boczne graniastosłupów a,b,c i k),m. Wyznaczamy na 
przykład punkty przebicia graniastosłupa KLM krawędzią b. W tym celu 
prowadzimy pomocniczą płaszczyzną tnącą 1X 2 równoległą do płaszczyzny 
kierowniczej qJ, przechodzącą przez krawędź b. Krawędź k2Jl przecina podstawę 
graniastosłupa KLM w punktach I i II, przez które prowadzimy krawędzie 
przecięcia graniastosłupa płaszczyzną 1X 2 , równolegle do krawędzi bocznych. 
Krawędzie przekroju mają z krawędzią b graniastosłupa punkty wspólne 1 i 2, 
które są wierzchołkami wielokąta przekania. 


o b c o 


1 . + - + 
m.,. , 
k 
1 -- 


K' 


FJ./ 
l ł! o+b_C+O 
- 7 
m 

 
k-6 i- 
+ 2 
1 


Rys. 10.25. Przenikanie dwóch graniastosłupów 


W podobny sposób wyznaczamy wszystkie wierzchołki wielokąta przenika- 
nia. Wyznaczone wierzchołki wielokąta przenikania nanosimy na schematy 
przenikania i odpowiednio je łączymy - na schemacie, a następnie na rysunku 
przenikania. 



Rozdział XI 


POWIERZCHNIE 


11.1. Krzywe stożkowe. Konstrukcje elipsy, paraboli i heperboli. Rzuty okręgu 


11.1.1. Krzywe stożkowe 
Krzywe stożkowe: elipsa, parabola i hiperbola są krzywymi stopnia drugiego. 
Otrzymujemy je przez wykonanie przekrojów powierzchni stożka obrotowego 
płaszczyznami ukośnymi nie przechodzącymi przez jego wierzchołek. Weźmy 
powierzchnię stożka obrotowego (rys. 11.1) o tworzących nachylonych do osi 
l pod kątem qJ oraz płaszczyznę nachyloną do osi stożka pod kątem \P. Jeśli: 
qJ < \P - to krzywa jest elipsą, 
qJ = \P - krzywa jest parabolą, 
qJ > \P - krzywa jest hiperbolą. 
Stożkowa jest określona, gdy dane sąjej pięć punktów, z których żadne trzy nie są 
współliniowe. 


Rys. 11.1. Tworzenie krzywych stożkowych: a) elipsy, b) paraboli 



- 119 - 


r;} 


Rys. l1.1c) Tworzenie krzywej stożkowej hiperboli 


11.1.2. Elipsa 
Elipsa jest miejscem geometrycznym punktów płaszczyzny mających tę 
własność, że suma ich odległości od dwóch punktów stałych zwanych ogniskami 
jest wielkością stałą, równą wielkiej osi elipsy: r 1 + r 2 = 2a. 
Konstrukcja elipsy na podstawie tej defmicji jest podana i opisana na rys. 
11.2. C 


A 


D 


20 


Rys. 11.2. Konstrukąa elipsy. Dana jest oś wielka elipsy AB i ogniska FI i F 2' Na ogni- 
skowej FI O obieramy dowony punkt 1 dzielący AB na dwa odcinki Al i iB. Z ognisk 
FI i F 2 zataczamy po 2 łuki o promieniach r I = Al i r 2 = AB . W przecięciu łuków znajdu- 
jemy punkty 1 1 , 1 2 , 1 3 , 1 4 , które należą do konstruowanej elipsy 



- 120 - 


Elipsa jest określona, gdy dane są jej średnice sprzężone lub jej osie. 
Wyznaczenie średnic sprzężonych elipsy, podobnie jak średnic sprzężonych 
okręgu wykonujemy następująco (rys. 11.3): prowadzimy dowolną średnicę AB 
okręgu i do niej równoległą cięciwę; przez środek cięciwy 8 1 i środek okręgu 
8 przechodzi średnica sprzężona z daną średnicą AB. 


a) 


E 


ej 


c 


A 


D 


Rys. 11.3. Wyznaczanie średnic sprzężonych elips 


b) 


8 


Średnice okręgu są do siebie prostopadłe. Podobnie wyznaczamy AB i CD 
średnice sprzężone elipsy, które nie są na ogół do siebie prostopadłe. Jedyną parą 
średnic sprzężonych elipsy do siebie prostopadłych są jej osie. 
Powyższe zależności wynikają z twierdzenia, że każdą elipsą możemy uważać 
za rzut równoległy okręgu, a jej średnice sprzężone są rzutami równoległymi 
średnic sprzężonych okręgu. Równoległobok - o bokach równoległych do 
średnic sprzężonych - opisany na elipsie jest rzutem kwadratu opisanego na 
okręgu i o bokach równoległych do średnic sprzężonych okręgu, których rzutami 
równoległymi są średnice sprzężone elipsy. Z powyższych zależności wynikają 
konstrukcje elipsy pokazane na rysunku 11.4. 



Średnice sprzężone elipsy określają ją w sposób jednoznaczny. Konstrukcję 
(wraz z opisem) osi elipsy, gdy są dane jej średnice sprzężone, podano na rys. 11.5. 
Kolejność konstrukcji: wystawiamy z O pros- 
topadłą do AB i odkładamy na niej odcinek 
- - 
OE = OB; przez punkty E i D prowadzimy 
prostą a; dzielimy odcinek ED na połowy i ze 
środka 01 zakreślamy promieniem 00 1 łuk 
b. Łuk ten przecina prostą a w punktach F i G, 
przez które przechodzą osie elipsy HJ i KL. 


- 121 - 


b) 


Rys. 11.5. Wyznaczanie kierunków osi elipsy, jeśli dane są 
średnice sprężone AD i CD. 


Rys. 11.4. Sposoby konstruowania elips 


c 


B 



- 122 - 


r 


k 


p 


Rys. 11.6. Parabola 


Rys. 10.7.a) Konstrukcyjne wyzna- 
czanie paraboli - dane są.:.Eun kt P, 
wierzchołek O i oś l (OR i RP 
dzielimy na równe odcinki) 


Rys. 11.7.b) Konstrukcyjne wyzna- 
czanie paraboli - dane są punkt 
niewłaściwy M'" i punkty właściwe 
p i T oraz styczna t w punkcie T 



- 123 - 


11.1.3. Parabola 


Parabolą o ognisku F i kierownicy k nazywamy krzywą stopnia drugiego, 
której punkty są równo oddalone od ogniska i kierownicy k (rys. 11.6). 
Dany jest wierzchołek paraboli O, jej oś i d ow olny punkt. Punkty paraboli 
wyznaczamy jak na rys. l1.7a - odcinki PR i RO dzielimy na jednakowe ilości 
odcinków równej długości. 
Podobnie wyznaczamy punkty paraboli, gdy dany jest punkt niewłaściwy 
MOO paraboli, dwa punkty paraboli P, T oraz styczna t w punkcie T (rys. l1.7b). 


11.1.4. Hiperbola 
Hiperbolą o ogniskach F l' F 2 i osiach a,b nazywamy krzywą stopnia 
drugiego, której punkty spełniają warunek: różnica odległości punktów od obu 
ognisk jest wielkością stałą równą 2a (rys. 11.8). 


Rys. 11.8. Hiperbola 


Na rys. 11.9 konstrukcja określa hiperbolę, jeśli dane są jej asymptoty 
m i n oraz punkt A. Przez punkt A prowadzimy dowolną prostą. Odcinek tej 
prostej zawarty pomiędzy punktem A i asymptotą n jest równy odcinkowi 
zawartemu między drugim punktem B hiperboli i drugą asymptotą. W oparciu 
o tę zależność wyznaczamy dalsze punkty C, D, E... 
Opisadne w od 11.1.1 do 11.1.4 krzywe stożkowe można zdefIniować i w inny 
sposób. 
Mianowicie krzywą stożkową nazywamy zbiór wszystkich punktów X płasz- 
czyzny, których odległość od punktu F (ogniska) i odległość od prostej 
k (kierownicy) nie przechodzącej przez F spełnia relację 


p(X,F) = l. p(X, k), 



- 124 - 


gdzie l jest obraną liczbą dodatnią. Gdy: 
1< 1 krzywa nazywa się elipsą, 
1= 1 parabolą, 
l> 1 hiperbolą. 


Rys. 11.9. Konstrukcyjne wyznaczanie hiperboli - dane są asymptoty 
ID, n i dowolny punkt A 


11.1.5. Rzuty okręgu 
Jak wiadomo z punktu 11.1.2 każdą elipsę możemy uważać za rzut 
równoległy okręgu. W dalszej nauce geometrii wykreślnej, a w szczególności przy 
wyznaczaniu przekrojów kuli, walca obrotowego i stożka obrotowego, ważną 
rzeczą jest umiejętność wyznaczania rzutów okręgu. W tym celu wykonamy 
następującą konstrukcję. 
Narysować rzuty okręgu k o danym środku S (SI, SIl) i promieniu r, leżącego 
na płaszczyźnie dowolnej lX=pC (rys. 11.10). 
Wykonujemy kład płaszczyzny IX na płaszczyznę poziomą J1. i wyznaczamy 
kład SO punktu S. Zakreślony z punktu SO okrąg k O o promieniu r jest kładem 
danego okręgu k. Parze średnic sprzężonych A °Bo i CODo okręgu k O odpowiada 
w rzucie poziomym para osi AIB I i CID I elipsy kl. Punkt CI wyznaczamy 
korzystając z powinowactwa. W rzucie pionowym wyznaczamy osie elipsy kIl. 
W tym celu przyjmujemy w kładzie taką nową parę średnic sprzężonych MON° i 
pOR ° okręgu k O aby ich rzuty pionowe były osiami MIlNIl i pIlR Il elipsy kl. 
Przyjęto więc MON° II CO i pORo 1 co. 
Inny sposób rozwiązania jest podany na rys. 11.11. W tym przypadku 
posłużyliśmy się dwukrotnie transformacją układu odniesienia. 



- 125 - 



----
--

 


" 
}.J 


Rys. 11.10. Rzuty okręgu 



- 126 - 


K' 


K' 


C.ztl{"1 


Rys. 11.11. Rzuty okręgu 



11.2. Powierzchnie obrotowe 


- 127 - 


11.2.1. Tworzenie powierzchni obrotowych 
W układzie odniesienia przyjmujemy pionową oś l, przez którą prowadzimy 
czołową płaszczyznę v, oraz przyjmujemy dowolną krzywę k leżącą w płaszczyź- 
nie v (rys. 11.12). 


ą' 


c. 


v' 


Rys. 11.12. Tworzenie powierzchni obrotowych 


Następnie dokonujemy obrotu krzywej k dokoła osi lo kąt pełny 360 0 . Każdy 
punkt P krzywej k zakreśli na płaszczyźnie obrotu okrąg o środku S leżącym na 
osi l. Krzywa k zakreśli powierzchnię obrotową. 
Okręgi zakreślone przez punkty P nazywamy równoleżnikami powierzchni 
obrotowej. Równoleżnik największy o promieniu rr zakreślony przez punkt Pr 
nazywamy równikiem, a najmniejszy o promieniu rs zakreślony przez punkt Ps 
nazywamy okręgiem szyjnym. Punkt O, w którym krzywa k przecina oś 
nazywamy biegunem. Krzywą k nazywamy tworzącą powierzchni obrotowej. 
Każda płaszczyzna przechodząca przez oś l przecina powierzchnię obrotową 
w jej południku. Wszystkie południki są przystające. Południk leżący w płasz- 
czyźnie czołowej jest południkiem głównym oraz jest południkiem konturowym 
na rzutni pionowej. 


11.2.2. Powierzchnia kuli 
W układzie odniesienia przyjmujemy pionową oś l, przez którą prowadzimy 
czołową płaszczyznę v, oraz przyjmujemy w tej płaszczyźnie okrąg k o śro- 



- 128 - 


dku O leżącym na osi l. Przez obrót 
okręgu k dokoła osi l o kąt 180 0 otrzy- 
mujemy powierzchnię kuli. Oba rzuty 
powierzchni kuli są okręgami o promie- 
niu r. Rzuty punktu leżącego na powie- 
rzchni kuli określamy, wyznaczając rzu- 
ty równoleżnika przechodzącego przez 
ten punkt. Dla przykładu wyznaczamy 
rzuty dowolnego punktu A(AI,A II) i dal- 
szych punktów B,C,... (rys. 11.13). Każ- 
demu punktowi kuli na rzucie piono- 
wym odpowiadają rzuty poziome 
dwóch różnych punktów. 


11.2.3. Powierzchnia pierścieniowa (torus) 


aj 


,I 


I 
U 


jJlI 


u' 


Rys. 11.13. Rzuty powierzchni kuli 


b) 


" 


k' 


I 
U 


Rys. 11.14. Torus: a) zwykły, b) dwubiegunowy 



- 129 - 


;' 


eJ 


Rys. 11.14. Torus e) jednobiegunowy 


Powierzchnią pierścieniową albo torusem nazywamy powierzchnię ob- 
rotową powstałą przez obrót okręgu dokoła osi leżącej na płaszczyźnie tego 
okręgu, nie przechochącej przez jego środek. Wyróżniamy trzy rodzaje powierz- 
chni pierścieniowych (rys. 11.14). 


11.3. Przekroje powierzchni kuli 


Każda płaszczyzna sieczna przecina powierzchnię kuli w okręgu. Przekroje 
powierzchni kuli płaszczyzną przedstawimy na przykładach. 
Przykład 1. 
Wyznaczyć przekrój powierzchni kuli płaszczyzną qJ pionowo-rzutującą. 
Płaszczyzna q> przecina powierzchnię kuli w okręgu, którego rzut poziomy jest 
elipsą (rys. 11.15). 
Przykład 2. 
Wyznaczyć przekrój kuli płaszczyzną dowolną lX=pC. Na rys. 11.16 podano 
przykładowe rozwiązanie przy pomocy transformacji układu odniesienia. 
Płaszczyznę IX sprowadzamy do położenia rzutującego wprowadzając 71: 3 1 p. 
Na trzecim rzucie określono najpierw rzut transformowany powierzchni kuli 
i płaszczyzny. W ich przecięciu otrzymano rzut (na 71: 3 ) okręgu przekroju. Na 
podstawie tego rzutu określamy rzut poziomy okręgu, tj. elipsę. Do konstrukcji 
wystarczy nam określić osie AIB I i CID I tej elipsy. W rzucie pionowym AlIBIl 
i CIlD Il są średnicami sprzężonymi i mogą posłużyć do określenia elipsy na 7I: z . 
Następnie określamy widoczność. W tym celu wprowadzamy płaszczyznę 
poziomą J1. i pionową v, które dzielą kulę na części widoczne i niewidoczne. 
Krawędź Pl = J1.nlX, która jest prostą poziomą, przecina na rzucie poziomym rzut 
okręgu przekroju w punktach 2 1 i 3 1 , dzieląc go tym samym na część widoczną 



- 130 - 


i niewidoczną. Która z nich jest widoczną, ustalamy poznanymi wczesmej 
metodami. Kolejno ustalamy widoczność powierzchni kuli względem płaszczyz- 
ny IX. 


Rys. 11.15. Przekrój kuli płaszczyzną 
pionowo-rzutuj
cą 


11.4. Powierzchnia walcowa. Przekroje i rozwinięcia powierzchni walcowej 


jJ" 


11.4.1. Tworzenie powierzchni walcowej 
Dana jest dowolna krzywa k i dowolna prosta m (rysunek 11.17). Przez 
punkty 1,2,3... krzywej k prowadzimy porste t l , t z , t 3 ,... równoległe do danej 
prostej m. Zbiór tych prostych tworzy powierzcnię walcową. Krzywą k nazywa- 
my kierownicą, a poprowadzone proste równoległe tworzącymi powierzchni 
walcowej. Płaszczyzna qJ nierównoległa do tworzącej powierzchni walcowej 
przecina je odpowiednio w punktach 1 1 , 2 1 , 3 1 ", których zbiór tworzy krzywą k 1 
zwaną przekrojem powierzchni walcowej. Przekrój powierzchni walcowej płasz- 
czyzną prostopadłą do jej tworzących nazywamy przekrojem normalnym. 



- 131 - 


" " 
fi "P, 


p" 


R" 


c'"X 1 2 


\)' :c; 


Rys. 11.16. Przekrój kuli płaszczyzną dowolną a:=pc 



- 132 - 


Rys. 11.17. Tworzenie powierzchni walcowej 


11.4.2. Powierzchnia walcowa obrotowa 
W układzie odniesienia przyjmuje- 
my pionową oś l, przez którą prowadzi- 
my czołową płaszczyznę v. W płaszczyź- 
nie v przyjmujemy okrąg k, o środku 
O leżącym na osi oraz prostą t równo- 
ległą do osi l, styczną do okręgu k w pun- 
kcie T. Układ ten obracamy dokoła osi 
lo kąt 360°. Prosta zakreśli powierzch- 
nię walcową obrotową; okrąg k zakreśli 
powierhcnię kuli styczną do powierz- 
chni walcowej obrotowej (rys. 11.18). 
W przekroju, leżącym w płaszczyźnie 
G prostopadłej do osi l, powierzchni 
walcowej jest okrąg. 


l,. 


t" 


tli 
1 


r 


,," E' 
1__ 


t =t ' 


I T ' 
tlI , 


Vi 


Rys. 11.18. Tworzenie powierzchni 
walcowej obrotowej 


11.4.3. Rzuty powierzchni walcowej 
Na rys 11.19a, pokazano rzuty walca obrotowego w układzie trzech rzutni. 
Na rys. l1.19b, przedstawiono rzuty walca obrotowego o osi czołowej. 
Z kolei rys. l1.19c i d przedstawiają powierzchnie walcowe eliptyczne, 
których kierownicą jest okrąg k leżący na płaszczyźnie poziomej J1. lub piono- 
weJ v. 



- 133 - 
a) b) 
I 
r p" 
f' 
A' 
l
t
 
". 
dJ 


Rys. 11.19. Rzuty powierzchni walcowych: a) walca obrotowego w układzie trzech rzutni; 
b) walca obrotowego o osi czołowej; c) walca eliptycznego - kierownica (okrąg) leży na 
płaszczyźnie poziomej; d) walca eliptycznego - kierownica leży na płaszczyźnie pionowej 


Rys. 11.20. Punkt na powierzchni walcowej 


pll 



- 134 - 


11.4.4. Punkt na powierzchni walcowej 
Punkt leży na powierzchni walcowej,jeśli leży na tworzącej tej powierzchni. 
Przez dany rzut pionowy punktu Al prowadzimy tworzącą tlI do przecięcia 
się z kierownicą kIl w punkcie 1 II. Prosta odnosząca poprowadzo
a z punktu I II 
przecina kierownicę kI w punktach lIi 2 1 . Zadanie ma więc dwa rozwiązania 
- rysunek 11.20. 


11.4.5. Przekroje i rozwinięcia powierzchni walcowych 
Jeśli kierownicą powierzchni walcowej obierzemy okrąg lub elipsę, to 
w przekroju otrzymamy elipsę, a w szczególnym przypadku okrąg. 
Do konstrukcji elipsy otrzymanej w przekroju powierzchni walcowej wystar- 
czy 5 dowolnych punktów przecięcia tworzących powierzchni walcowej i płasz- 
czyzny przekroju. Staramy się jednak wybierać takie tworzące powierzchni 
walcowej, które pozwolą wyznaczyć w przecięciu z płaszczyzną przekroju końce 
osi elipsy, bądź średnic sprzężonych. Wystarczą nam wtedy do konstrukcji 
(przedstawionych wcześniej na rys. 11.4) 4 punkty. Bez korzystania z konstrukcji 
z rys. 11.4 możemy kolejne punkty krzywej wyznaczyć podobnie jak pierwsze 
cztery, jako punkty przebicia płaszczyzny przekroju kolejnymi tworzącymi. 
Omówimy kilka przykładów. 
Przykład 1. 
Wyznaczyć przekrój powierzchni walcowej obrotowej o osi pionowej 
l płaszczyzną pionowo-rzutującą qJ. ZnaleŹĆ rzeczywistą wielkość przekroju oraz 
wyznaczyć rozwinięcie powierzchni walca z zaznaczeniem linii przekroju. 
Rozwiązanie podano na rys. 11.21. Naturalną wielkość przekroju, którego 
rzut pionowy jest odcinkiem, poziomy okręgiem, a boczny elipsą, określono 
wykonując kład płaszczyzny przekroju dookoła prostej celowej l=hqJ=7I: 1 nqJ. 
Rozwinięcie walca obrotowego jest prostokątem o długości równej ob- 
wodowi podstawy (koła) 271:r i wysokości równej wysokości walca. Długość 
rozwinięcia na rysunku wyznaczono konstrukcyjnie w następujący sposób. 
W płaszczyźnie podstawy przez środek okręgu k poprowadzono prostą m pod 
kątem 30° do osi n oraz styczną s do okręgu k w punkcie P=knn. Z punktu 
przeci ęcia M = snm na prostej s w kierunku punktu P odmierzono odcinek 
MM 1 o długości 3r. 
Ponieważ długość CM 1 
 7I:r, podwojona długość odcinka CM 1 będzie 
długością rozwinięcia. 
Punkty przekroju przenosimy na rozwinięcie w następujący sposób: obwód 
okręgu i długość rozwinięcia dzielimy na jednakową ilość części, przykładowo na 
8 - do podziału odcinka zastosowano twierdzenie Talesa. Na każdej z tworzą- 
cych przechodzących przez punkty wyznaczone na drodze podziału 1,2,3,...8, 
odmierzono względem płaszczyzny podstawy wysokość odpowiedniego punktu 



- 135 - 



 
..... 
..... 

 

 



- 136 - 



- ------ 


---
 
.
. 


. " 
XIZ=f.J :rp 


Co 


Rys. 1122.a) Przekrój walca cylindrycznego płaszczyzną dowolną a:=pc 



- 137 - 


przekroju (najlepiej na rzucie pionowym) i przeniesiono ją na odpowiednią 
tworzącą zaznaczoną na rozwinięciu. W ten sposób wyznaczone punkty 
połączono krzywą i otrzymano na rozwinięciu linię przekroju. 
Przykład 2. 
Wyznaczyć przekrój powierzchni walcowej obrotowej o osi pionowej 
l płaszczyzną dowolną qJ = pc, znaleźć rzeczywistą wielkość przekroju oraz 
wyznaczyć rozwinięcie powierzchni walca z zaznaczeniem linii przekroju. 
Rozwiązanie podano na rys. 11.22. 
Przy pomocy transformacji układu odniesienia płaszczyznę przekroju sprowa- 
dzono w położenie rzutujące. Dalszy przebieg rozwiązania analogicznie jak 
w poprzednim przykładzie. 
3r 


Rys. 1122b. Rozwinięcie walca cylindrycznego z zaznaczeniem linii przekroju 



-138- 


Przykład 3. 
Wyznaczyć przekrój normalnej powierzchni walcowej eliptycznej o kierow- 
nicy kołowej leżącej na płaszczyzźnie poziomej, płaszczyzną qJ = KLMN. 
Znaleźć rzeczywistą wielkość przekroju oraz wyznaczyć rozwinięcie powierzchni 
walca z zaznaczeniem linii przekroju. Rozwiązanie podano na rys. 11.23. 


p" =X f2 


Rys. 1l.23a) Przekrój normalny walca eliptycznego 



- 139 - 


m 


O'23lS6789KJ987 


Sl32,O 


Rys. 1123b) Rozwinięcie walca eliptycznego 


Najpierw wyznaczamy płaszczyznę normalną (prostopadłą do osi walca) 
określoną równoległobokiem KLMN. przez transformację układu odniesienia 
płaszczyznę qJ sprowadzamy w położenie rzutujące i wyznaczamy na wszystkich 
rzutniach rzuty przekroju. Następnie stosując transformację wyznaczamy natu- 
ralną wielkość przekroju. Przekrój dzielimy na wiele części punktami l IV , 2 IV , 3 IV 
(przykładowo 20 - na rysunku połowę przekroju podzielono na 10 części), 
a nastę pnie ...!:' zwij amy obwód przekroju odmierzając na prostej m kolejno 
odcinki 12, 23, 34 on Przez zaznaczone punkty 1,2,3... prostopadle do prostej 
m prowadzimy tworzące i zaznaczamy na nich końce odcinków tworzących, 



- 140 - 


odmierzając długości odpowiednich odcinków (na trzecim rzucie), na jakie 
podzieliła tworzące płaszczyzna przekroju. Tak zaznaczone punkty łączymy 
krzywą i otrzymujemy rozwinięcie powierzchni bocznej walca. Po uzupełnieniu 
tego rozwinięcia o 2 koła o promieniu r równemu promieniowi podstawy 
otrzymujemy, rozwinięcie powierzchni całej bryły. 


11.5. Powierzchnia stożkowa. Przekroje i rozwinięcia powierzchni stożkowej 


11.5.1. Tworzenie powierzchni stożkowej 
Dana jest dowolna krzywa k i punkt W. Przez punkty 1,2,3... krzywej 
k i punkt W prowadzimy proste t 1 , t z , t 3 ... . Zbiór tych prostych tworzy 
powierzchnię stożkową. 


Rys. 11.24. Tworzenie powierzchni stożkowej 


Krzywa k jest kierownicą, punkt W wierzchołkiem, a poprowadzone proste t 1 , 
t z ... są tworzącymi powierzchni stożkowej. Płaszczyzna qJ nie przechodząca przez 
wierzchołek W powierzchni stożkowej przecina tworzące odpowiednio w punk- 
tach 1,2,3... , których zbiór tworzy krzywą k 1 , zwaną przekrojem powierzchni 
stożkowej (rys. 11.24). 


11.5.2. Powierzchnia stożkowa obrotowa 
W układzie odniesienia (rys. 11.25) przyjmujemy pionową oś l, przez którą 
prowadzimy czołową płaszczyznę v. W płaszczyźnie v przyjmujemy okrąg k, 
o środku O leżącym na osi; przyjmujemy punkt W leżący na osi l oraz 
prowadzimy przez punkt W prostą t styczną do okręgu k w punkcie T. Układ ten 
obracamy dookoła osi l o kąt 360 0 . Prosta t zakreśli powierzchnię stożkową 
obrotową; okrąg k zakreśli powierzchnię kuli styczną do powierzchni stożkowej 
w okręgu leżącym w płaszczyźnie B, prostopadłej do osi l powierzchni stożkowej. 



- 141 - 


11.5.3. Rzuty powierzchni stożkowej. Punkty na powierzchni stożkowej 
Na rys, 11.26 podano rzuty różnych powierzchni stożkowych oraz sposób 
określenia brakującego rzutu punktu powierzchni stożkowej. 


x 


E" 


v' 


Rys. 1125. Tworzenie stożka obrotowego 


w" 


w' 


2' I 
Rys. 11.26. Stożki: a) obrotowy; b) obrotowy o osi czołowej 



Rys. 1126c). Stożek eliptyczny 


- 142 - 


e) 


w' 


" 
E 


" 
!J 


w ' 


Jeśli mamy np. rzut pionowy punktu A stożka obrotowego (rys. l1.26a) to 
prowadzimy najpierw t Il tworzącej t zawierającej punkt A, a następnie wy- 
znaczamy t I rzut poziomy tworzącej t W przecięciu odnoszącej wystawionej 
zA Il i t I znajdujemuA I - narysunkupokazanodwarozwiązaniaA
 iA;. Rzuty 
punktów innych powierzchni stożkowych kreślamy analogicznie, wyznaczając 
najpierw rzuty przynależnej tworzącej. 
Możemy też postępować inaczej. Mianowicie, jeśli punkt przynależny do 
okręgu zawartego w powierzchni stożkowej, przy czym okrąg jest równoległy do 
jednej z rzutni 71: 1 lub 7I: z , to wyznaczamy najpierw rzuty tego okręgu przynależ- 
nego do punktu, a następnie bez trudu określimy brakujący rzut punktu 
prowadząc jego odnoszącą (rys. l1.26c). 


11.5.4. Przekroje i rozwinięcia powierzchni stożkowej 
Przekrojami powierzchni stożkowych obrotowych oraz nieobrotowych, 
których kierownicami są okręgi lub krzywe stożkowe, płaszczyznami nie 
przechodzącymi przez wierzchołek powierzchni stożkowej są krzywe stożkowe: 
elipsy, parabole lub hiperbole, a w szczególnym przypadku okręgi. Przekroje 
i rozwinięcia powierzchni stożkowych rozpatrzymy na przykłada("
. Figurę 
przekroju powierzchni stożkowej określamy analogicznie jak i przekrój powierz- 
chni walcowej. Minimalną ilość punktów potrzebnych do konstrukcji krzywej 
znajdujemy w przecięciu płaszczyzny przekroju i tworzących powierzchni 
stożkowej. Stosowanie konstrukcji krzywych stożkowych opisanych na począt- 
ku rozdziału nie jest konieczne - dostateczną ilość punktów potrzebnych do 
dokładnej konstrukcji możemy wyznaczyć także jako punkty przebicia płasz- 
czyzny przekroju kolejnymi tworzącymi. 



- 143 - 


N 


!; 

 


lO 


«I' 

 
'S' 

 
.... 
«I' 

 

 
lj 
N 
ł 
ol 

 
O 
..... 
'" 


::S 
'0' 
.... 

 

 

 
ol 
a 
ffi 


7' 

 
..... 
..... 
. 
=: 



- 144 - 


Przykład 1 
Wyznaczyć przekrój powierzchni stożkowej obrotowej o kierownicy leżącej 
na rzutni poziomej, płaszczyzną poziomo-rzutującą cp. Znaleźć rzeczywistą 
wielkość przekroju oraz wyznaczyć rozwinięcie powierzchni z zaznaczeniem linii 
przekroju. Rozwiązanie podano na rys. 11.27. 
W 


8 


8 


Rys. 1127b. Rozwinięcie stożka z zaznaczeniem linii 
przekroju 


Znalezienie przekroju nie nastręcza kłopotów - konstrukcję rozpoczynamy 
od rzutu pionowego, na którym rzutem przekroju stożka jest odcinek, następnie 
określamy rzut poziomy i boczny przekroju. Naturalną wielkość przekroju 
określamy poprzez kład płaszczyzny. 
Rozwinięciem powierzchni stożka jest wycinek koła o promieniu równym 
tworzącej t i kącie w, który ustalamy z zależności: 
w 271:r 360 0 ! . 
360 0 = 2m ==- w = t 


W celu naniesienia na rozwinięcie linii przekroju dzielimy kierownicę na 
określoną liczbę części, np. 8. Punkty podziału 1,2,3,...8 nanosimy na rozwinięcie 
i prowadzimy tworzące wyznaczone przez te punkty. Na tych tworzących 
oznaczamy kolejno punkty przekroju, odczytując ich odległość od wierzchołka 
na rzucie pionowym na tworzącej konturowej. 



- 145 - 


Przykład 2. 
Powierzchnię stożkową obrotową przeciąć w paraboli płaszczyzną piono- 
wo-rzutującą. Rozwiązanie podano na rys. 11.28. 


z 


Wił 


x 


y 


Rys. 1128. 


y 


Przykład 3 
Powierzchnię stożkową obrotową przeciąć w hiperboli płaszczyzną piono- 
wo-rzutującą. Rozwiązanie podano na rys. 11.29. 
Przykład 4 
Powierzchnię stożkową obrotową o osi pionowej l przeciąć płaszczyzną 
równoległoboku KLMN, wyznaczyć przekrój, rzeczywistą wielkość przekroju 
oraz narysować rozwinięcie powierzchni stożka z zaznaczeniem linii przekroju. 
Rozwiązanie podano na rys. 11.30. 
Sprowadzamy płaszczyznę w położenie rzutujące przez transformację układu 
odniesienia i dalej rozwiązujemy jak przykład 1. 



- 146 - 


E" 


" 
fJ 


Rys. 11.29. Hiperbola w przekroju 
stożka 



- 147 - 


Rys. 11.30.a) 



- 148 - 


w 


o 


o 


Rys. 11.30.b) Rozwinięcie stożka z zaznaczeniem linii przekroju 


Przykład 5 
Wyznaczyć przekrój płaszczyzną poziomą powierzchni stożkowej nieob- 
rotowej o kołowej kierownicy, leżącej na płaszczyźnie poziomej oraz narysować 
rozwinięcie powierzchni stożka. Rozwiązanie podano na rys. 11.31. 
Przekrojem stożka płaszczyzną poziomą jest okrąg, jego określenie nie 
sprawia kłopotu. W celu znalezienia rozwinięcia dzielimy kierownicę na pewną 
ilość jednakowych części (przykładowo 12) punktami 0,1,2,...6 - wykorzystując 
symetrię wystarczy połowę kierownicy podzielić na 6 części. Znajdujemy poprzez 
obrót dokoła prostej pionowej l do położenia czołowego rzeczywistą długość 
tworzących zawierających punkty 0,1,2'00.6. 
Konstrukcję rozwinięcia rozpoczynamy od tw orzącej W6. Następnie z zazna- 
czonego punktu W zataczamy łuk o promieniu W Il 5 Il (w rzeczywistej wielkoś- 
1 



- 149 - 


w.; w: 


'P" 


6" 
 
. 1".5"': z' ," o. 


t, 



 
 
; S, 


t, Z; i, 
: 5, 


Rys. l1.31.a. Przekrój stożka eliptycznego 


ci), a z punktu 6 łuk o promieniu 6 - 5 - odmierzony z rzutu poziomego. Łuki 
przetną się w punkcie 5 rozwinięcia, określając w ten sposób jego położenie. 
Analogicznie określamy punkt 4 - zataczając łuki z punktów W i 5 - i ko- 
lejno 3,2,1,0. Symetrycznie względem W6 konstruujemy drugą część rozwinięcia. 
Punkty przekroju nanosimy tak jak w poprzednich przykładach. Konstrukcja 
jest tym dokładniejsza im gęściej podzielimy kierownicę. 
Przykład 6 
Wyznaczyć linię przekroju powierzchni stożkowej płaszczyzną qJ = ABC 
w położeniu ogólnym. Rozwiązanie podano na rys. 11.32. 



- 150 - 


w 


o 


Rys. 11.31.b Rozwinięcie stożka eliptycznego z zaznaczeniem linii przekroju 


Zadanie rozwiązano stosując powinowactwo osiowe. Między rzutami na 71: 1 
i 71: 2 płaszczyzny przekroju zachodzą związki powinowactwa osiowego o kierun- 
ku równoległym do odnoszących. Punkt przecięcia rzutu pionowego z pozio- 
mym prostej AB, M=AIlBIlnAIB I oraz punkt N=BIlCIlnBIC I określają oś 
powinowactwa (rys. 11.32). Na rzutni pionowej określamy rzuty pionowe 
tworzących Sl, S2, S3 ... SlO oraz na rzutni poziomej ich rzuty poziome (rys. 
11.32). Prowadzimy pomocniczą dowolną prostą SIlD Il i określamy powinowa- 
tą jej prostą DIE. W przecięciu DIE i odnoszącej z SIl znajdujemy powinowaty 
punktowi SIl punkt SO. Określamy też powinowate rzutom pionowym tworzą- 
cych Sl, S2, S3,... proste S O K 1 , S O K 2 , S O K 3 ... SOKlO' gdzie K 1 , K2' ... punkty 
przecięcia osi powinowactwa rzutami pionowymi tworzących. 
W przecięciu prostych SOK 1 z SIlI, S O K 2 Z S I 2 I ... otrzymamy punkty 
przekroju, przykładano punkt FI. Łącząc je otrzymamy linię przekroju. Jej rzut 
pionowy określamy bez trudu. 



- 151 - 


s" 



 


N 


fl" 


SO 


Rys. 11.32. 


11.6. Punkty przebicia powierzchni prostą 


Podobnie jak przy wyznaczaniu punktów przebicia wielościanu prostą, 
w celu wyznaczenia punktów przebicia powierzchni prostą, prowadzimy przez tę 
prostą pomocniczą płaszczyznę tnącą i wyznaczamy przekrój powierzchni. 
Punkty przebicia leżą na przecięciu się przekroju z prostą (rys. 11.33 i 11.35). 
Zagadnienie to rozpatrzymy na przykładach. 


Przykład 1 
Dana jest powierzchnia walcowa (rys. 11.34), której kierownica jest ustawio- 
na na płaszczyźnie poziomej IX oraz dana jest prosta a. Wyznaczyć punkty 
przebicia danej powierzchni walcowej prostą a. 
Na prostej a obieramy dowolny punkt R i prowadzimy przez niego prostą 
b równolegle do tworzących powierzchni walca (rys. 11.34). Proste a i b określają 
płaszczyznę tnącą cp. Znajdujemy krawędź k płaszczyzny cp z płaszczyzną IX przez 
wyznaczenie punktów przebicia P i Q (rys. 11.34). Krawędź k przecina kierownicę 
w punktach 1 i 2, przez które prowadzimy tworzące t 1 i t z . Na przecięciu się tych 
tworzących z prostą a mamy punkty przebicia S i T. 



- 152 - 


Rys. 11.33. Punkty przebicia powierzchni walca prostą 


Rys. 11.34. 



- 153 - 


r:Jn
 k- Q' 


Rys. 11.35. Punkty przebicia powierzchni stożka prostą 


Q' 


Rys. 11.36 



- 154 - 


Przykład 2 
Dana jest powierzchnia stożkowa, której kierownica ustawiona jest na 
poziomej płaszczyźnie IX oraz dana jest prosta a. Wyznaczyć punkty przebicia 
powierzchni stożkowej prostą a (rozwiązanie na rys. 11.36). 
Na prostej a obieramy dowolny punkt R i prowadzimy przez niego i przez 
wierzchołek W powierzchni stożkowej prostą b. Proste a i b określają płaszczyz- 
nę tnącą qJ. Znajdujemy jej krawędź z płaszczyzną IX, która przecina kierownicę 
w punktych 1 i 2. Przez punkty te prowadzimy tworzące t 1 i t 2 , które przecinają 
prostą a w szukanych punktach przebicia S i T. 
o' 


Rys. 11.37. Punkty przebicia powierzchni kuli prostą 



- 155 - 


Przykład 3 
Dana jest powierzchnia kuli oraz dana jest prosta a. Wyznaczyć punkty 
przebicia powierzchni kuli prostą (rozwiązanie na rys. 11.37). 
Przez prostą a prowadzimy cp płaszczyznę poziomo-rzutującą, która przecina 
powierzchnię kuli w okręgu k. Następnie wprowadzamy trzecią rzutnię 71: 3 
równolegle do płaszczyzny cp. Punkty przebicia S i T znajdujemy w trzecim rzucie 
oraz przenosimy je do rzutu poziomego i pionowego.. 


11.7. Przenikanie powierzchni 


Zbiór punktów wspólnych dwóch przenikających się powierzchni nazywamy 
linią przenikania tych powierzchni, która jest linią przestrzenną. Przenikanie 
może być niezupełne lub zupełne, w tym drugim przypadku linia przenikania 
rozpada się na dwie części. 
Dla wykreślenia linii przenikania powierzchni wyznaczamy pewną skoń- 
czoną liczbę punktów linii przenikania, które następnie odpowiednio łączymy. 
Punkty linii przenikania dwóch powierzchni wyznaczamy za pośrednictwem 
pomocniczych płaszczyzn tnących, tak prowadzonych, aby przekroje obu 
powierzchni były łatwe do wykreślenia w rzutach, a więc aby to były proste lub 
okręgi. W przypadku przenikania się powierzchni obrotowych, których osie się 
przecinają i są równoległe do rzutni można też zastosować metodę kul 
współśrodkowych. 
Metoda wyznaczania linii przenikania dowolnych powierzchni 71: 11 i 7I: b (w 
szczególnym przypadku powierzchni obrotowych) przy pomocy pomocniczych 
powierzchni 7I: i (w szczególności płaszczyzn, sfer) polega na tym, że prowadzimy 
kolejne pomocnicze powierzchnie 7I:i (71: 1 ,71: 2 ,71: 3 ",), które przecinają 71: 11 i 7I: b 
odpowiednio w krzywych kll,i (k1l,1' k ll ,2 ...) i k b ,i(kb,l' k b ,2 on) przecinających się 
parami w punktach (niekoniecznie jednym) Pi,j' gdzie i - numer powierzchni 
tnącej, aj - kolejny punkt otrzymany w przecięciu się jednej pary krzywych kll,i 
i kb,i' Punkty P i,j należąc jednocześnie do kll,i i kb,i' a tym samym jednocześnie do 
71: 11 i 7I:b wyznaczają linię przenikania powierzchni 71: 11 i 7I:b' 
W celu ułatwienia łączenie punktów linii przenikania możemy zastosować 
schematy przenikania, takie same jak dla wielościanów zamiast krawędzi 
bocznych (graniastosłupa lub ostrosłupa) biorąc tworzące powierzchni ob- 
rotowych wykorzystane do wyznaczania punktów linii przenikania. Punkty 
naniesione na schemat (siatkę) łączymy według zasady: łączymy punkty jednego 
oczka i tylko po przekątnej. 
Wykreślanie linii przenikania powierzchni przedstawiamy na przykładach 
rozpoczynając od przypadków najprostszych. 



- 156 - 


. 


,- 
o- 
. 
a2 
a- 
ex: 
af 
. 
ct6 
lit' 
I 


Rys. 11.38a. Przenikanie powierzchni kuli i walca (płaszczyzna P=OI czołowa) 


Przykład 1. 
Wyznaczyć linię przenikania powierzchni kuli z powierzchnią walca ob- 
rotowego o osi pionowej (dwa przypadki - rysunek 11.38). W obu przypadkach 
dla wyznaczenia punktów linii przenikania możemy poprowadzić pomocnicze 
płaszczyzny, poziome (przypadek a) bądź płaszczyzny czołowe (przypadek b). 
Wyznaczenie punktów linii przenikania oraz ich łączenie jest widoczne z rysun- 
ków. Zauważmy, że punkty 1,2,3 i 4 w przypadku a oraz punkty 1 i 2 w przypadku 
b wyznaczy się natychmiast, bez prowadzenia pomocniczych płaszczyzn. 
Przykład 2 
Wyznaczyć linię przenikania powierzchni kuli z powierzchnią stożka ob- 
rotowego o osi pionowej. 



- 157 - 


, " 
II' 
· 3" 


Rys. 11.38b. Przenikanie powierzchni kuli i walca 


, 
IYs 


, 
(l
 


, 
1:13 
, 
a2 


, 
0. 


Dla wyznaczenia punktów linii przenikania (rys. 11.39) prowadzimy pomocnicze 
płaszczyzny poziome. Punkty 1 i 2, najwyższy i najniższy linii przenikania 
możemy wyznaczyć trzema sposobami: metodą kładu płaszczyzny przechodzącej 
przez oś powierzchni stożka i środek powierzchni kuli, jak pokazano na rysunku, 
metodą obrotu powierzchni kuli dokoła osi l powierzchni stożka do płaszczyzny 
czołowej v (o kąt cp) oraz metoda transformacji. Punkty 3 i 4 wyznaczamy za 
pośrednictwem pomocniczej płaszczyzny czołowej v, która przecina powierzch- 
nię stożka w tworzących konturowych. Punkty 5 i 6, leżące w płaszczyźnie 
poziomej IX przechodzącej przez środek powierzchni kul
oddzielają widoczną 
część linii przenikania od części niewidocznej w rzucie poziomym. Wyznaczenie 
dalszych punktów linii przenikania oraz ich łączenie jest widoczne z rysunku. 



- 158 - 


w" 


0/ 
3 


(X" 
2 


or" 
f 


a" 
4 


0/' 
5 


W* 


Rys. 11.39. Przenikanie powierzchni stożka i kuli 



- 159 - 


Przykład 3 
Wyznaczyć linię przenikania powierzchni stożka obrotowego o osi pionowej, 
z powierzchnią walca obrotowego o osi poziomej (dwa przypadki). Rozwiązanie 
podano na rys. l1.40a i l1.40b. W obu przypadkach punkty linii przenikania 
wyznaczamy za pomocą pomocniczych płaszczyzn poziomych, które powierzch- 
nię stożka przecinają w okręgach, a powierzchnię stożka przecinają w okręgach, 
a powierzchnię walca w tworzących. W przypadku a) punkty 1 i 2 wyznaczamy 
natychmiast bez dodatkowych płaszczyzn, a dla przypadku b) prowadzimy 
dodatkowo płaszczyznę czołową (J, za pomocą której wyznaczamy punkty 7,8,9 
i 10 oraz wykonujemy kład płaszczyzny E 1 x dla wyznaczenia punktów 11 i 12. 


Przykład 4 
Wyznaczyć linię przenikania dwóch powierzchni walcowych obrotowych 
(trzy przypadki - rys. l1.41a,b,c). 
a) powierzchnie stykają się w jednym punkcie (1) leżącym na płaszczyźnie 
czołowej IX stycznej do obu tych powierzchni, (rys. HAla). 
Dla wyznaczenia punktów linii przenikania prowadzimy płaszczyzny czołowe 
tnące obie powierzchnie walcowe w tworzących. Punkt 1, w którym linia 
przenikania przecina się ze sobą jest punktem podwójnym. 
b) osie obu powierzchni l i m przecinają się w punkcie R (rys. HAlb). 
Punkty linii przenikania wyznaczamy prowadząc płaszczyzny pozio- 
mo-rzutujące, przenikające powierzchnie w tworzących. Przenikanie jest zupeł- 
ne. 
c) osie obu powierzchni l i m nie przecinają się (rys. l1.41c). Punkty linii 
przenikania leżą na tworzących powierzchni, przy czym posługujemy się kładem 
k* poziomym przekroju normalnego k powierzchni. 


Przykład 5 
Wyznaczyć linię przenikania powierzchni pierścieniowej powierzchni 
walcowej obrotowej (dwa przypadki, rys. 11.42). 
a) osie obu powierzchni są pionowe (rys. l1.42a). 
Punkty linii przenikania wyznaczamy za pośrednictwem równoleżników 
powierzchni pierścieniowej i tworzących powierzchni walcowej. 
b) osie obu powierzchni są wichrowate (rys. l1.42b). 
Punkty linii przenikania wyznaczamy, prowadząc pomocnicze płaszczyzny 
czołowe, przecinające poweirzchnię pierścieniową w równoleżnikach, a powierz- 
chnię walcową w tworzących, przy czym posługujemy się kładem k* poziomym 
(na płaszczyźnie E) przekroju normalnego k powierzchni walcowej. 



- 160 - 


5/1 
(f" 


(XII 


1" 
E" 
9" 


Rys. l1.40.a) 



- 161 - 


0/' 
T q" 
ei 1 
e 1 i"'- 
ej q
 
fi' 


E' 


Rys. l1.40.b) 


w" 



- 162 - 


/" 
12" 8/1 9 11 131/ 
16 11 5/ 1 17" 
"'" / 21" 
 
" ',/1 / I ..... 
Q.J 
kil ",/ 
/ '" I 
/ "- 
 
18" ""- 19" 
 
11." 3" 15/ 1 
101/ 6" 7" 11" 


, l' 
a 
{j
 e 
b'
 
E' k' 11
1 ' 
- 

1 lsk 1'7' 
/' I 
(j
 19k21 1 
fJ' 


Rys. l1.41.a) 



- 163 - 


m' 


e e 1 e2 


e e ł 
e2 


Rys. H.41.b) 



- 164 - 


Rys. 11.41.c) 



- 165 - 


/I 
m 


" 


7" 


s;' 


" 


S' 
f 


Rys. l1.42a) 



ki ł 
e2 
et 
e, e 2 
7" 
5" 
In J.1" 
s' 
t' 
/" 
n'7 / 
-1-- 
n
 
(ts .7' 
m' 
-, Si I 
nł. 1.' 

 /1 k' 
n1 '/ 
n
 et 
e2 
Rys. l1.42.b) 


- 166 - 



Przykład 6 
Wyznaczyć linię 
przenikania dwóch 
pwierzchni walcowych 
obrotowych, których 
osie się przecinają i le- 
żą w płaszczyźnie rów- 
noległej do rzutni (dwa 
przypadki rys. 
11.43). 
W obu przypadkach 
stosujemy metodą kul 
współśrodkowych 
o środku w punkcie 
O przecięcia się osi. 
Kule przecinają się 
z powierzchniami wal- 
cowymi w okręgach, 
których rzuty pionowe 
są odcinkami. Punkty 
wspólne okręgów są 
punktami linii przeni- 
kania. Punkty 1 i 2 wy- 
znaczamy natychmiast 
z rzutu pionowego, na- 
tomiast punkty 3 i 4 (w 
przypadku b) za po- 
mocą dodatkowej pła- 
szczyzny czołowej 
IX i kładu poziomego k* 
przekroju normalnego 
powierzchni walcowej 
poziomej. 


- 167 - 


mil, 


r 7
 ff ' 
lci-
'k 4" 
II S
6" 
L_ 


;" 


l/=.2' 


/' 


Rys. l1.43a. Przenikanie powierzchni dwóch 
walców o przecinających się pod kątem pro- 
stym osiach 



I 
a 


/ / / 
m; 


a' 


- 168 - 


mil 


e2 
e 1 


e 


e 3 


e2 


e2 


e3 


Rys. 11.43.b) Przenikanie powierzchni dwóch walców o przecinających się osiach - kąt między 
osiami różny od prostego 



- 169 - 


Przykład 7 
Wyznaczyć linię przenikania powierzchni stożkowej obrotowej i walcowej 
obrotowej, których osie przecinają się i leżą w płaszczyźnie czołowej. Roz- 
wiązanie podano na rys. 11.44. 
11/ 


".l 


Q' 


m' 


Rys. 11.44. 



I
I 
15:1 1 
1>1 1 
I 
1==:1 
I-I 
1=:11- 
I
i- 
tsl l 
I
II 


.. I I I I I I -lo -lo 


""')
I.J

lj"CQ'J""') 


- 170 - 


:::t 



 

 


vi 
"": 
...... 
...... 
uj 
>. 
p::: 



- 171 - 


, 
k Jp 


wl/ 
2 


VIII "0 If' [[ I Jjj Y 'ił! VIii 
++++-- 
l 


.1- 
+ 
A+ 
c::- 
E_ 11 
G_ 
F_ 
D_ 
8-:. 
.1 + 


Rys. 11.46. 



- 172 - 


Punkty linii przenikania wyznaczamy metodą kul współśrodkowych o środku 
w punkcie O przecięcia się osi. Punkty 1 i 2 wyznaczamy natychmiast z rzutu 
pionowego. 
Przykład 8 
Wyznaczyć linię przenikania dwóch powierzchni stożkowych nieobrotowych. 
Dane dwie powierzchnie stożkowe o wierzchołkach W 1 i W 2 ustawione są 
kierownicami k 1 i k 2 na płaszczyźnie Jl.. Rozwiązanie pokazano na rysunku 
poglądowym (rys. 11.45) i w rzutach prostokątnych (rys. 11.46). Przez wierzchołki 
obu powierzchni prowadzimy prostą t (rys. 11.46) i znajdujemy jej punkt 
przebicia z płaszczyzną Jl.. Każda płaszczyzna przechodząca przez prostą 
t przecina dane powierzchnie w tworzących. Wobec tego dla wyznaczenia 
punktów linii przenikania prowadzimy pomocnicze płaszczyzny tnące przecho- 
dzące przez prostą t - kolejno IX, fJ, y, b. Weźmy dla przykładu pod uwagę 
płaszczyznę y, która przecina płaszczyznę Jl. w krawędzi k3Jl krawędź ta przecina 
kierownicę k 1 w punktach IV i V, a kierownicę k 2 w punktach E i F. Łączymy 
otrzymane punkty tworzącymi z wierzchołkami, a w przecięciu się ich otrzymuje- 
my punkty linii przenikania 7, 8, 9 i 10. Sporządzamy schematy przenikania, 
odpowiednio łączymy punkty linii przenikania na schematach, a następnie na 
rysunkach, uwzględniając widoczność linii. 
Zasady łączenia punktów na schemacie takie same jak dla wielościanów. 


Rys. 1l.47a. 



- 173 - 


Sil 


H' 


Rys. 11.47.b) 


Rys. l1.47.c) 



- 174 - 


ABDFH.JGECA 
_ ----1-++1+1-- 
16 + ----< 16 
'lJlI+ 127-.!..S'---- 
\(]:r 8' '7 
IV. = 
 " 3 - 
¥ - 27 _"d 
1l! - "
 /' 
/5 
V-=-- lO/'9 
eJ!;. I
 ',./13 
fi '6 
R' 


/::\ 



 " 
 I" 
, Vi" 
P k" G" ;Y- 

tf ' 'i!!"gn ]' 111" j(' iZfI" E' A' A" 8!.' rJ H
 
G k
p /7 Y 
 Dl 
p', Iii , -'-"===' - / I / 
p q I' 
cl/i, 'FI 
Fil k' . 'k-- - A /A - ;.- 
1)'- 
 I' 
 
 7J --,L f.- 
-r- 7 
' 
 '- 
' 

' 
'. / )H I 
21' /V -f 
 
 VI \ --""" 1 ' I G' 
r-:-:- 
k - '-.....; fi r-;>< 
3 - '- I Vlt ' 
 ' / 
". - ljl 
 .J-- J' 
-I 
1 iX' s: 

 
 1.' 
 
k sp !tl!/ 
 I 6' 
'6 I- ""'- 
 ..-0 \ 
I
 :; .. f7
' , / . 
\("LII + /21/ /I /1,8 

+ 
f7 1'.7 .......... , 
1f + f. LI !' 3 // 12 
1 - + 2[/ '" l / ' 
+ "I.J 15' 

 - 6 1', /f'i / 
mc 1( 
 r{€,,,r;'9 
]X + + .,. /- -T - - - + 
A BDFHJ GECA 


\ 11 ., 
/1' I. \ . 
7 211 
+- 
 l" ___ /0" 
']' \ / 1
" 
\ S' 
. 16 

 9' 'IJ' 


11.' 


Rys. 11.48. 



- 175 - 


Przykład 9 
Wyznaczyć linię przenikania powierzchni walca z powierzchnią stożkową 
(rys. l1.47a). 
Przez wierzchołek powierzchni stożkowej prowadzimy prostą t równolegle 
do tworzących powierzchni walcowej. Znajdujemy jej punkt przebicia z płasz- 
czyzną p, na której ustawione są kierownice obu powierzchni. Przez prostą 
t prowadzimy kolejno płaszczyzny lX i , które przecinają płaszczyznę p w krawę- 
dziach k 1 , k 2 , k 3 °oo . Znajdujemy punkty przecięcia krawędzi z kierownicami, 
prowadzimy tworzące oraz wyznaczamy punkty lnii przenikania w przecięciu 
odpowiednichj współpłaszczyznowych tworzących. Wyznaczone punkty linii 
przenikania pokazano na rys. l1.47b. Następnie łączymy punkty linii przenika- 
nia - w razie potrzeby można posłużyć się schematem przenikania. 
Na rys. l1.47c pokazano linię przenikania. 
Przykład 10. 
Wyznaczyć linię przenikania dwóch powierzchni walcowyhc nieobrotowych. 
Rozwiązanie podano na rys. 11.48. 
Dane powierzchnie walcowe ustawione są kierownicami na płaszczyźnie pozio- 
mej p. Dla wyznaczenia punktów linii przenikania prowadzimy pomocnicze 
płaszczyzny tnące, równoległe do tworzących obu powierzchni walcowych. Dla 
wyznaczenia ustawienia tych płaszczyzn prowadzimy tzw. płaszczyznę kierow- 
niczą qJ równolegle do tworzących obu powierzchni W tym celu obieramy 
dowolny punkt P w przestrzeni, prowadzimy przez niego proste p i q równolegle 
do tworzącyh obu powierzchni i wyznaczamy jej krawędź k z płaszczyzną p. 
Następnie prowadzimy pomocnicze płaszczyzny tnące IX, fJ, '}', ..., znajdujemy ich 
krawędzie k 1 , k 2 , k3 ... z płaszczyzną p. Znajdujemy dalej punkty przecięcia 
krawędzi z kierownicam
 prowadzimy przez te punkty tworzące oraz wy- 
znaczamy punkty linii przenikania. Sporządzamy schematy przenikania, od- 
powiednio łączymy punkty linii przenikania na schematach, a następnie na 
rysunku, uwzględniając widoczność linii. 


11.8. Przenikanie powierzchni z wielościanami 


Zbiór punktów wspólnych powierzchni i ścian wielościanu nazywamy linią 
przenikania tej powierzchni z wielościanem. Linia przenikania powierzchni 
z wielościanem składa się z szeregu odcinków linii krzywych płaskich, przecinają- 
cych się na krawędziach wielościanu w punktach, w których te krawędzie 
przebijają powierzchnię. 
Przenikanie powierzchni z wielościanami przedstawianymi na przykładach. 
Przykład 1. 
Wyznaczyć linię przenikania powierzchni stożkowej obrotowej z powierzch- 
nią graniastosłupa czworokątnego prawidłowego. 



- 176 - 


/' 


. W " 


/ \ 
/ \ 
/ \ 
1/1 / \ 


4 1 : Oli 


Rys. 11.49. Przenikanie stożka i graniastosłupa prawidłowego czworo- 
kątnego 



- 177 - 


Punkty linii przenikania wyznaczamy za pomocą równoleżników powierz- 
chni stożkowej. Linia przenikania składa się z czterech łukowych odcinków, 
czterech hiperbol (rys. 11.49). 
Przykład 2 
Wyznaczyć linię przenikania powierzchni walcowej obrotowej z czworokąt- 
nym ostrosłupem prawidłowym. Punkty linii przenikania wyznaczamy za 
pomocą prostych poziomych obranych na pobocznicy ostrosłupa. Linia przeni- 
kania składa się z czterech łukowych odcinków, czterech elips (rys. 11.50). 


/ł\ 
/ . \ 
/ \ 
/ \ 


Rys. 11.50. Przenikanie walca z ostrosłupem prawidłowym czworokątnym 



- 178 - 


Przykład 3 
Wyznaczyć linię przenikania powierzchni kuli z pobocznicą graniastosłupa 
trójkątnego prostego. Rozwiązanie podano na rys. 11.51. 
Punkty linii przenikania wyznaczamy za pomocą pomocniczych płaszczyzn 
czołowych. Linia przenikania składa się z dwóch krzywych przestrzennych, przy 
czym każda z nich jest utworzona z trzech odcinków łukowych, trzech różnych 
okręgów. 


l/i 


fł
 


fł
 


fł
 


fł
 


Rys. 11.51. Przenikanie powierzchni kuli i graniastosłupa 
trójkątnego prostego 



- 179 - 


Przykład 4 
Wyznaczyć linię przenikania powierzchni walcowej obrotowej z powierzch- 
nią graniastosłupa trójkątnego prostego. Rozwiązanie podano na rys. 11.52. 
Punkty linii przenikania wyznaczamy za pośrednictwem płaszczyzn czoło- 
wych i kładu poziomego przekroju normalnego powierzchni walcowej. Linia 
przenikania składa się z dwóch odcinków łukowych (dwóch jednakowych elips) 
i z odcinka prostej. 


A' l' 


k' 


ł t 


, 
J.l 


k' 



 


e 


Rys. 11.52. Przenikanie powierzchni walcowej obrotowej 
z powierzchnią graniastosłupa trójkątnego prostego 


Przykład 5 
Wyznaczyć linię przenikania powierzchni stożka obrotowego z graniasto- 
słupem czworokątnym prostym. Rozwiązanie podano na rys. 11.53. 
Punkty figur przenikania wyznaczamy na pośrednictwem płaszczyzn pozio- 
mych. Linię przenikania stanowią dwie symetryczne gałęzie, z których każda 
składa się z czterech następujących odcinków: okręgu, elipsy, paraboli i hiperboli. 



- 180 - 


Rys. 11.53. Przenikanie powierzchni stożka z graniasto- 
słupem czworokątnym prostym 


0/' 


(' 


Rys. 11.54. Przenikanie powierzchni pierścieniowej z graniastosłupem prostym czworokątnym 



- 181 - 


Przykład 6 
Wyznaczyć linię przenikania powierzchni pierścieniowej z graniastosłupem 
prostym. Rozwiązanie podano na rys. 11.54. 
Punkty 1, 2, 3 i 4 linii przenikania wyznaczamy natychmiast. Dolne punkty 
wyznaczamy za pośrednictwem płaszczyzn czołowych, które przecinają powierz- 
chnię pierścieniową w okręgach. 



Rozdział XII 


AKSONOMETRIA 


12.1. Rzut aksonometryczny 


Aksonometrią lub rzutem aksonometrycznym nazywamy metodą wykreś- 
lania rzutu utworu geometrycznego (na ogół przestrzennego), ustawionego 
w prostokątnym układzie odniesienia, na rzutni aksonometrycznej, w danym 
kierunku rzutowania. 
Dany jest prostokątny układ odniesienia (rys. 12.1) złożony z trzech rzutni 71: 1 , 
71: 2 , 71: 3 o początku O i osiach x, y, z, oraz dana jest w tym układzie płaszczyzna 71: 11 
dowolnie ustawiona, przecinająca osie x,y,z w punktach X,Y,Z. 
Płaszczyznę 71: 11 nazywamy rzutnią aksonometryczną oraz trójkąt XyZ - trój- 
kątem śladów aksonometrycznych, którego boki (ślady) oznaczamy literami 
a,b,c. 
Przyjmujemy kierunek rzutowania k II 71: 11 , Wyznaczamy rzut początku 
układu O na rzutnię 71: 11 , w kierunku rzutowania k; rzut punktu O na rzutnię 71: 11 
nazywamy środkiem aksonometrii i oznaczamy 0". Łączymy środek aksonomet- 
rii 0" z punktami X,Y,Z i otrzymane proste oznaczamy x", y", z"; proste te są 
rzutaI1)i osi x,y,z na rzutnię 71: 11 w kierunku k (k 1 1Ik) i nazywamy je osiami 
aksonometrycznymi. Na podstawie właściwości rzutu równoległego, aksono- 
metrie prostych równoległych do osi układu współrzącnych są prostymi 
równoległymi do osi aksonometrycznych. 
Rozróżniamy dwa rodzaje aksonometrii: 
1) aksonometrię prostokątną gdy k 171: 11 , 
2) aksonometrię ukośnokątną gdy k 171: 11 . 


12.2. Aksonometria prostokątna 


12.2.1. Określenie aksonometrii prostokątnej 
Jeżeli rzutnia aksonometryczna nie jest równoległa do żadnej z osi x,y,z 
układu prostokątnego, a kierunek rzutowania jest prostopadły do rzutni 
aksonometrycznej k 1 71: 11 , to otrzymujemy aksonometrię prostokątną (rys. 12.2). 



- 183 - 


JT 2 


o 


JT, 


Rys. 12.1. Trójkąt śladów aksonometrycznych 


Rys. 122. Aksometria prostokątna 



- 184 - 


W ówczas środek aksonometrii oznaczamy O" i nazywam środkiem aksonomet- 
rii porstokątnej, osie aksonometrii prostokątnej oznaczamy x", y", z" i nazywamy 
osiami aksonometrii prostokątnej. 


12.2.2. Twierdzenia aksonometrii prostokątnej 
aj 


9 iJ'"{, 


zn 


z 


b) 


z 


z 


K 


o 


Rys. 12.3. 


Oznaczamy odpowiednio przez K,L,M punkty przecięcia osi aksonomet- 
rycznych z bokami a,b,c, trójkąta śladów aksonometrycznych (rys. 12.2). 
Oś z prostopadła do 71: 1 jest też prostopadła do prostej a; rzutem prostokąt- 
nym prostych prostopadłych z 1 a na rzutni 71: 11 (z których a jest równoległa do 
rzutni, bo na niej leży) są dwie proste prostopadłe z" 1 a; analogicznie y" 1 b, 
x" 1 c. Zatem: 



- 1 85 - 


Twierdzenie 1: Osie aksonometrii prostokątnej są prostymi, na których leżą 
wysokości trójkąta śladów aksonometrycznych. 
W trójkącie prostokątnym ZOK punkt O" leży wewnątrz odcinków XM , 
YL. Wobec tego: 
Twierdzenie 2: W aksonometrii prostokątnej trójkąt śladów aksonometrycznych 
jest trójkątem ostrokątnym. 
Oba twierdzenia ilustruje rys. 12.3a i b. 
Oznaczamy przez: IX, fJ, "I kąty między osiami x, y, z i rzutnią aksonometryczną 
71: 11 , tzn. kąty między osiami x, y, z i osiami aksonometrycznymi x", y" i z". 
Jeżeli oznaczymy przez Xl' y l' Zl współrzędne punktu O", to 
x/ + y 1 2 + z/ = p2 ; 


gdzie 


p = p(O,O") , 


dalej mamy: 


Xl = p smlX , 
y 1 = P sinfJ , 


Zl = P sm"l , 


i po podstawieniu: 
(p SinlX)2 + (p sinfJ)2 + (p sin"l)2 = p2 I: p2 , 
Sin 2 1X + sin 2 /3 + sin 2 "1 = 1, 
Sin 2 1X = 1-cos 2 1X; sin 2 fJ = 1-cos 2 fJ; sin 2 y = 1-cos 2 y. 


Po uporządkowaniu otrzymamy: 
COS 2 1X + cos 2 fJ + COS 2 "1 = 2. 


Ten związek między kątami IX, fJ, "I nazywamy równaniem charakterystycznym 
aksonometrii prostokątnej. 


12.2.3. Skrócenia sksonometryczne 
Na osiach x,y,z odmierzamy od punktu O trzy równe odcinki e. Długości 
rzutów tych odcinków (na rzutnię 71: 11 ) leżących na osiach x", y", z" są następujące 
(rys. 12.4): 


ex = e COSIX , 
e y = e cosfJ , 
e z = e cos"l . 



- 186 - 


JT 2 


Ą 


Rys. 12.4. 


Stosunki: 


ex 
- = COSIX = S , 
e x 


e 
---ł' = cosfJ = Sy , 
e 


e z 
- = cos'}' = Sz , 
e 


nazywamy skróceniami aksonometrycznymi. 
Równanie charakterystyczne aksonometrii prostokątnej przyjmie postać: 
S/ + S/ + S/ = 2 . 


Mamy więc: 
Twierdzenie 3. W aksonometrii prostokątnej suma kwadratów skróceń aksono- 
metrycznych dla osi x,y,z równa się 2. Wyrażenie: 



- 187 - 


ex : e y : e z = Sx : Sy : Sz 
nazywamy stosunkiem skróceń aksonometrycznych. 
Z równania charakterystycznego Sx 2 + Sy 2 + Sz 2 = 2 mamy: 
e 2 + e 2 + e 2 = 2 e 2 
x y z , 


stąd 


J e 2 +e 2 +e 2 
e= x y z 
2 . 


Ponieważ zawsze jest Sx, Sy, Sz< 1 (gdyż IX, fJ, "I >0) więc z warunku 
S2 + S2 +S 2=2 
x y z , 


mamy 


S2 + S2=2-S 2 >1>S2 
x y z z , 


zatem: 


S/ + S/ > S/ , 
S/ + S/ > S/ , 
S/ + S/ > S/, 


222 
ex + e y > e z , 
222 
e y + e z > ex , 
2 + 2 2 
e z ex > e y . 


12.2.4. Rodzaje aksonometrii prostokątnej 
Izometria - aksonometria jednomiarowa 
Jeżeli rzutnia aksonometryczna jest tak przyjęta, że osie aksonometryczne x", 
y", z", tworząjednakowe kąty z osiami x, y, Z, układu prostokątnego, to występuje 
równość skróceń aksonometrycznych S"=Sy=Sz. Wówczas trójkąt śladów 
aksonometrycznych jest trójkątem równobocznym, kąty między osiami aksono- 
metrycznymi są jednakowe i wynoszą 120 0 . Wielkość skrócenia aksonometrycz- 
nego 


S=S =S =S 
x y z 
określamy z równania charakterystycznego 
S/ + S/ + S/ = 2 . 



- 188 - 


Otrzymujemy: 


3S 2 = 2 


i dalej 


s = Jf ,;;, 0,82 . 


W praktyce przyjmujemy: 


Sx = Sy = Sz = 1 . 


Stosunek skróceń aksonometrycznych: 
Sx : Sy : Sz = 1 : 1 : 1 . 


Układ osi aksonometrycznych pokazuje rys. 12.5. 


o) 


zn 


b) 


In 


/:/ 


/:/ 


/20 0 


Rys. 12.5. Osie w izometrii: a) kąty między osiami, b) konstrukąa 


Dla przykładu podajemy rzut aksonometryczny prostopadłościanu z wycię- 
ciem (rys. 12.6). 
Na rys. 12.9 pokazano sposób rysowania aksonometrycznych rzutów 
okrętów leżących na ścianach sześcianu, przy czym osie aksonometryczne są 
równoległe do krawędzi sześcianu. 
Rysowanie okręgu w izometrii. Aksonometrią prostokątną okręgu jest elipsa. 
Rys. 12.7 podaje powszechnie stosowany sposób wykreślania okręgu wizometrii 
jako owalu zastępującego elipsę, jeśli dane sąjej osie AB i CD o stosunku długości 
równym .J3/3';;'0.58, przy czym rysunek ten uwzględnia skrócenie aksonomet- 
ryczne S,;;, 0.82. 
Następny rysunek - 12.8 pokazuje rysowanie okręgu w izometrii jako 
owalu, bez uwzględnienia skrócenia aksonometrycznego (czyli S= 1). 



- 189 - 


z 


z" 
7=1 


-.+-.-.- 


x 


z 


x 


Rys. 12.6. 


°4 


"b 
CI:> 
V1 
d 


A 


d 


Rys. 12.7. Konstrukaą owalu wizometrii 



d 


- 190 - 


O 2 


zn 


,: 1 


d 


yn 


Rys. 12.9. 


Dimetria (aksonometria dwumiarowa) 
Aksonometrię prostokątną, w której równe są dwa skrócenia aksonomet- 
ryczne, najczęściej Sx = Sz' nazywamy dimetrią czyli aksonometrią dwumiarową. 
Trójkąt śladów aksonometrycznych jest trójkątem równoramiennym. Zgodnie 
z zaleceniem polskiej normy stosuje się dimetrię określoną stosunkiem skróceń 
aksonometrycznych Sx : Sy : Sz = 2 : 1 : 2 , stąd: 
1 
Sx = Sz = Sy = 2 Sx . 



- 191 - 


I{I 


o) /,/ 


b) 


13f'25' 


x n ,:, 


In 


Rys. 12.10. Osie w dimetrii: 
a) kąty między osiami; 1:1 
b)konstrukąa x n 


Ze wzoru 


S2+S2+S2=2 
x y z 


mamy: 


2 
Sx 2 + ( S; ) + Sx 2 = 2, 


i dalej 


9 2 
4 Sx = 2 , 


2 - 1 - 
Sx = Sz = 3.J 2 ,;;, 0.94, Sy = 3 .J2 ,;;, 0.47. 


W praktyce przyjmujemy: 


Sx = Sz = 1 , Sy = 0,5 



- 192 - 


zn 


x n 


1: 1 


Rys. 12.11. Rysowanie okręgów w dimetrii 


Układ osi aksonometrycznych podano na rys. 12.10a i ich konstrukcyjne 
wyznaczenie na rys. 12.10b. 
Rzut aksonometryczny w dimetrii sześcianu z przynależnymi okręgami 
pokazano na rys. 12.11. 
Anizometria (aksometria trójmiarowa, trimetryczna, anizometryczna) 
Aksonometrię prostokątną, w której wszystkie skrócenia aksonometryczne 
są różne, nazywamy anizometrię: Sx:;i:Sy:;i:Sz oraz lX:;i:fJ:;i:y. 
W praktyce nie ma zastosowania ze względu na trudniejszą konstrukcję od 
dwu- i jednomiarowej aksonometrii. 



- 193 - 


12.3. Aksonometria ukośnokątna 


12.3.1. Określenie aksonometrii ukośnokątnej 
Jeżeli kierunek rzutowania k nie jest prostopadły do rzutni aksonometrycznej 
71:", to rzut ukośnokątny figury geometrycznej na rzutnię w kierunku k nazywamy 
aksonometią ukośnokątną tej figury. 
Rzuty ukośnokątne osi x,y,z na rzutnię aksonometryzcną oznaczamy x", y", 
z", a środek aksonometrii O". 
Równanie charakterystyczne aksonometrii ukośnokątnej ma postać: 
COS 2 1X + cos 2 fJ + cos 2 y = 2 + ctg 2 qJ 


lub 


S2 + S2 + S2 = 2 + ct g 2tn 
x y z 
 , 


gdzie qJ kąt nachylenia kierunku rzutowania k do rzutni aksonometrycznej 71: 11 , 
Gdy qJ=90° (ctg qJ=O) otrzymamy oczywiście aksonometrię prostokątną. 
W aksonometrii ukośnokątnej rzutnię aksonometryczną przyjmuje się 
zazwyczaj równolegle do jednej z rzutni układu prostokątnego. 


12.3.2. Rodzaje aksonometrii ukośnokątnej 
Rzut ukośny (dimetria ukośnokątna, aksonometria kawalerska) 
Jeżeli 71: 11 jest równoległa do 71:2 to rzut ukośnokątny figury na rzutnię 71: 11 
nazywamy rzutem ukośnym (aksonometrią kawalerską lub dimetrią ukośnokąt- 
ną) tej figury (rysunek 12.12). 


no 


Jl 2 


I 
I 
I 
----\o 
" 


JT 3 


Rys. 12.12. Aksonometria kawalerska 


JT, 


Osie x" i z" tworzą kąt prosty, a stosunek skróceń aksonometrycznych 
przyjmuje się zazwyczaj Sx:Sy:Sz=2:1:2, oraz kąt qJ=45° (rys. 12.13). 



- 194 - 


l: I 


x n 


Rys. 12.13. Okrąg w aksonometrii kawalerskiej 


Figury płaskie leżące na płaszczyznach równoległych do 71: 11 odwozorowują się 
bez zniekształceń, zatem np. okrąg odwzorowuje się jako okrąg itp. 
Aksonometria wojskowa 
Jeżeli 71: 11 1171:1 (rys. 12.14a) to rzut ukośnokątny figury na rzutnię 71: 11 nazywamy 
aksonometrią wojskową tej figury. Układ osi aksonometrycznych jest podany na 
rys. 12. 14b. 
Osie x" i y" tworzą kąt prosty. Stosunki skróceń aksonometrycznych 
przyjmuje się: 


o) 


Sx : Sy : Sz = 1 : 1 : 1 


b) 


zn 
1:1 


Rys. 12.14. Aksonometria wojskowa 



- 195 - 


Figury płaskie leżące na płaszczyznach równoległych do rzutni aksonomet- 
rycznej odwzorowywują się bez zniekształceń, zatem na przykład okrąg od- 
wzorowywuje się jako okrąg. 


12.4. Kąty proporcjonalności 


Dla ułatwienia wykreślenia rzutu aksonometrycznego utworu geometrycz- 
nego konstruuje się tzw. kąty proporcjonalności. Istotne jest to dla skróceń 
aksonometrycznych różnych od 1. 
Kąt proporcjonalności tworzy się na podstawie twierdzenia Talesa (rys. 
12.15): 


e 


X, 


Rys. 12.15. 


jeżeli 


II 
S = ex 
x e 


to również 


II 
S=
 
x Xl 


Podobnie tworzy się Wy i w Z ' 


12.5. Przekroje 


Dla pokazania szczegółów wewnętrznej budowy przedmiotów można wyko- 
nywać w rzutach aksonometrycznych odpowiednie przekroje. Kierunki kres- 
kowania pokazuje rys. 1216. 



- 196 - 


za 


Rys. 12.16. Kierunki kreskowania w aksonometrii 



WYKAZ WAŻNIEJSZYCH OZNACZEŃ 


A,B,C,... 
a,b,c,... 
lX,fJ,y,... 
(o,... 
AB, ... 
mlln, IXllfJ, mlJIX 
mlJn, IXllfJ, mlllX 
m 1 n, IX 1 fJ, m llX 
m = AB 
IX=ABC, ... 
IX = mA,... 
IX = mn,... 
A = mnn... 
A=mnlX... 


k=lXnfJ 


7t 1,7t 2 ,7t 3 ,7t 4 ,... 


x,y,z,... 
X 34 ,x13,x,23 
AI,AIl,AIIl,AIV 


mI,mIl ,mIIl,mIV 


Hm,V m,Km, 
ha:,Va:,ka: 
IX = ha: Va: 
AO,Bo,...ao,bo 


O", O" 


x" ,y" ,z", "x" ,y" ,z" 


p(A,B) 
p(A,a) 
p(A,IX) 


- punkty 
- proste 
- płaszczyzny 
- kąt obrotu 
- odcinek o końcach A i B 
- elementy równoległe 
- elementy nierównoległe 
- elementy prostopadłe 
- prosta określona punktami A i B 
- płaszczyzna określona punktami A,B i C 
- płaszczyzna określona prostą m i puntem A 
- płaszczyzna określona dwiema prostymi m i n 
- punkt przecięcia prostych m i n 
- punkt przecięcia (przebicia) prostej m i płaszczyz- 
ny IX 
- krawędź przecięcia k dwu płaszczyzn IX i fJ 
- płaszczyzny rzutów: pierwsza (pozioma), druga 
(pionowa), trzecia (boczna), czwarta... 
- osie rzutów 
- transformowane osie rzutów 
- rzuty punktu A: pierwszy (poziomy), drugi (pio- 
nowyy), trzeci, czwarty,... 
- rzuty prostej m: pierwszy (poziomy), drugi (pio- 
nowy), trzeci, czwarty,... 
- ślady prostej m: poziomy, pionowy, boczny 
- ślady płaszczyzny: poziomy, pionowy, boczny 
- płaszczyzna określona dwoma śladami ha: i Va: 
- kłady punktów A,B,... i prostych a,b,... uzyskane 
przez obrót o skierowany kąt różny od 90° 
- środek aksometryczny w aksometrii prostokąt- 
nej, ukośnokątnej 
- osie aksometryczne w aksometrii prostokątnej, 
ukośnej 
- odległość punktu A od punktu B 
- odległość punktu A od prostej a 
- odległość punktu A od płaszczyzny IX 



p(a,b) 
p(a,lX) 
p( 1X,fJ) 
u(7t i ,7t j ) 
AEa 


AEIX 


ac IX 


A::B, AI::BI, n::m, 
n II :: m II 


- 198 - 


- odległość prostej a od prostej b 
- odległość prostej a od płaszczyzny IX 
- odległość płaszczyzny IX od płaszczyzny fJ 
- układ rzutni 7t i i 7t j 
- punkt A i prosta a przynależna do siebie (punkt 
A zawiera się w prostej a) 
- punkt A i płaszczyzna IX przynależna do siebie 
(punkt A zawiera się w płaszczyźnie IX) 
- prosta a i płaszczyzna IX przynależne do siebie 
(prosta a zawiera się w płaszczyźnie IX) 


- elementy pokrywające się Gednoczące się, przy- 
stające). 



LITERATURA 


1. Godik E.I., Samofałow M.I.: Atłas po projekcjonnomu czerczieniu s poetap- 
nym rieszeniem zadacz. Wiszcza szkoła, Kijew 1978. 
2. Lewandowski Z.: Geometria wykreślna. PWN, Warszawa 1978. 
3. Otto F., Otto E.: Podręcznik geometrii wykreślnej. PWN, Warszawa 1994. 
4. Plamitzer A.: Geometria wykreślna. PWN, Warszawa 1994. 
5. PN-75fM-01123 - Rysunek techniczny. Rzutyaksonometyczne. 
6. Rachwał T.: Geometria wykreślna. PWN, Warszawa 1977. 
7. Russkiewicz N.L.: Nacziertatielnaja gieometrija. Wiszcza szkoła, Kijew 1978.